次の問題を教えてください

質問

y=x-((1/2)sin(2x))この式をxに関して微分するとy'=1-cos(2x)>=0となるんですが、この時等号成立はxが何の時ですかですか？求め方も含めて教えてください。
お願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

等号成立は
　1-cos(2x)=0
cos(2x)=1
2x=2nπ(nは全ての整数)
つまり
x=nπ(nは全ての整数）　つまり、x=0,±π,±2π,±3π,±4π, …
の時になります。

補足

回答ありがとうございます
ではこの解でｙが狭義単調増加関数であるとゆうことにつながりますか？

回答No.5

alice_44

微分可能な関数で、広義単調増加ではあるが狭義単調増加ではないものは、
導関数が 0 になる区間を持つ　…ことが、平均値定理から証明できます。
問題の関数は、y'=0 となる点が孤立しているので、狭義単調増加と判ります。
グラフは、雰囲気を伝えるためのもので、証明の道具にはなりません。

回答No.4

info22_

#1、#3です。

A#3の補足質問について

>最初の回答の4行目で
>2x=2nπ(nは全ての整数)
>とはcos2x=1となるものはy=cos2xのグラフから2nπだからとゆうことですか？
三角関数の基礎に属することですからここで説明するより、高校数学の三角関数の所で
三角関数の値や周期性や単位円と関連付けた三角関数の考え方を復習して確認された方が良いでしょう。（cosだけでなく、sin,tanなどもです。）

cos(x)=1となるAは　x=2nπ（ラジアン）（nは任意の整数）です。
三角関数y=cos(x)のグラフの性質(関数値や周期性)からもわかりますが、普通は、
単位円のグラフで単位円の周上の座標点(X,Y)と偏角「2x」との関係から
　cos(2x)=X/√(X^2+Y^2)=1
ここで X^2+Y^2=1なので、X=1,Y=0です。
この時の2x=0,x=0,三角関数の周期性から
cos(2x)の周期T=πなのでこの整数倍を加えた　x=0+nπ=nπ　が一般解になります。

>二番目の回答の4行目の
>x=nπだけでy'=0、x≠nπでy'>0なので
>とゆうのもグラフからの判明ですか？
グラフからではなく
質問者さんの投稿文の中にも書いてある
「y=x-((1/2)sin(2x))から導出された　y'=1-cos(2x)>=0」から
「x=nπだけでy'=0、x≠nπでy'>0なので」
が言えるのです。
　「小さな任意のε(>0)、任意の自然数nに対して y'=1-cos(2(nπ±ε)=1-cos(2ε)>0
かつ、y'=1-cos(2(nπ))=1-1=0」　から言えるのです。

グラフから判明する訳ではないので、あくまでグラフは質問者さんの「参考」として添付したもので「y=x-((1/2)sin(2x))」の関数の概形を把握してもらうものです。

お礼

忘れていることやあやふやな所が多いので復習します
詳しく教えていただきありがとうございました

回答No.3

info22_

#1です。

A#1の補足について

>ではこの解でｙが狭義単調増加関数であるとゆうことにつながりますか？
x=nπだけでy'=0、x≠nπでy'>0なので
yは狭義単調増加関数であるといえます。

参考までに
y=x-((1/2)sin(2x))
のグラフを添付しておきます。
広義および狭義の単調増加関数であることが確認できるかと思います。
常にグラフの傾き≧0です。

補足

最初の回答の4行目で

2x=2nπ(nは全ての整数)

とはcos2x=1となるものはy=cos2xのグラフから2nπだからとゆうことですか？

二番目の回答の4行目の

x=nπだけでy'=0、x≠nπでy'>0なので

とゆうのもグラフからの判明ですか？

回答No.2

alice_44

y'≧0 より、y は広義単調増加であり、
かつ、y'=0 の解が離散的であることから、
狭義単調増加であることが言えます。

お礼

回答ありがとうございます
参考になりました