関数で微分する

質問

大学で経済学を学んでいるものです。参考書の中に
∫f (g(x)) dx をg(x)で微分してみたり、∫h(x)g(x) dx をg(x)で微分するにはどういう風にすれば
よろしいのでしょうか?
ｘによって定義された関数g(x)で微分するのは一見して難しいように思えるのですが、教えてください。
またそれに関しての参考書や学術書などがありましたらそれもぜひ教えてください。

回答No.2

alice_44

「g(x)で微分」というのが、
関数 g で微分という意味なら、変分法かな？
関数 g の値 g(x) で微分という意味なら、単なる合成関数の微分法で、
y = g(x) と置いて、
(d/dy)∫f(g(x))dx = (d/dy)∫f(y)(dx/dy)dy = f(y)(dx/dy)
= f(g(x))/{dg(x)/dx)} とか、
(d/dy)∫h(x)g(x)dx = (d/dy)∫F(g(x))dx あとは同上
ただし F(y) = h(g^-1(y))・y とか、計算すれば済む。
(もちろん、逆関数 g^-1 が存在する範囲での話だが。)
どちらの話をしているのだろうか？

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

＞∫f (g(x)) dx をg(x)で微分してみたり、
＞∫h(x)g(x) dx をg(x)で微分するには
＞どういう風にすればよろしいのでしょうか?

できません。

f(g(x)) を g で形式的に微分したりすることは可能ですが
相手が合成関数の不定積分では意味不明です。

何か書き落としてませんか？

変分法の話だったりして。

補足

実はもともとの問題というのは、
Max U=∫i∈[0,N]　u(q(i))di s.t ∫i∈[0,N]p(i)q(i)di=E　(予算制約の下での効用最大化)
という問題なのであります。たぶん変分法問題に帰着するのだと思いますが、どのように処理すればいいのかと頭を抱えております。
Lagrangeを組んで、その後の取り扱い方がネックになってきます。