微分可能かどうか

質問

微分可能 かどうか。

g(x)をＲ上定義された２回微分可能な関数とし
f(x)を
f(x)=g(x)+x^2sin(1/x) x≠0
f(x)=g(0) x=0 と定める

(1)x≠0として f'(x)を求めよ
(2)f(x)はx=0で微分可能であることを示し f'(0)を求めよ
(3)f'(x)はx=0で微分可能でないことを示せ

お願いします

回答No.1

ellipt01

(1) x ≠ 0なら
df/dx = g '(x)+2x sin(1/x)+x^2cos(1/x){ d (1/x) /dx}
=g '(x)+2x sin(1/x)-cos(1/x)

(2)
f '(0)=lim_{D -> +0} { f(D) - f(0) } / D
ここで
f(D) - f(0) = g(D) + D^2 sin(1/D) - g(0) = g(D) - g(0) + D^2 sin(1/D)
従って
f '(0)=lim_{D -> +0} {g(D) - g(0)}/D + lim_{D -> +0} D sin(1/D)
= g '(0) + 0 ( |sin(1/D)| <= 1 なので)

D -> -0 でも(D=-Sとして lim_{S->+0} とすれば)同じ結果

答えは g '(0)

(3)
f ''(0)=lim_{D -> +0} { f '(D) - f '(0) } / D

(1),(2)より
f '(D) - f '(0) = g '(D) + 2D sin(1/D)-cos(1/D) - g '(0)
lim_{D -> +0} { f '(D) - f '(0) } / D
= g ''(0) + lim_{D -> +0} sin(1/D) - lim_{D -> +0} cos(1/D)/D

最後の2項は不定なので微分不可。
(3)がなんか自信ないですが・・・こんな感じでしょうか？？