数学の質問(T_T)

質問

1つのサイコロを続けて101回投げた時、6の目がk回でる確率をPnとする。 (1)Pk/Pk-1(1≦k≦101)を簡単な式で表せ。 (2)(1)の結果を用いてPkを最大にするkをすべてもとめよ

回答No.2

ereserve67

(1)P_k=101Ck(1/6)^k(5/6)^{101-k},P_{k-1}=101Ck-1(1/6)^{k-1}(5/6)^{102-k}(k=1,・・・,101)であるから

P_k/P_{k-1}=101Ck(1/6)^k(5/6)^{101-k}/(101Ck-1(1/6)^{k-1}(5/6)^{102-k})

=[101!/{k!(101-k)!}][(k-1)!(102-k)!/101!](5^{101-k}/5^{102-k})

=[(k-1)!(102-k)!/{k!(101-k)!}]/5

=(102-k)/(5k)

(2)(1)で(102-k)/(5k)=1とすると102-k=5k,102=6k,k=17．P_{17}=P_{16}

P_k/P_{k-1}>1⇔(102-k)/(5k)>1⇔k<17⇔k=1,2,・・・,16
⇔P_{k-1}<P_k(k=1,・・・,16)

P_k/P_{k-1}<1⇔(102-k)/(5k)<1⇔k>17⇔k=18,19,・・・,101
⇔P_{k-1}>P_k(k=18,・・・,101)

すなわち

P_0<P_1<・・・P_{14}<P_{15}>P_{16}=P_{17}>P_{18}>・・・>P_{101}

∴k=16,17（答）

回答No.1

mojarin8

101回さいころを投げてｎ回６が出る確率は

(1/6)×(1/6)×…×(1/6)　×　(5/6)×(5/6)×…×(5/6)　×　101Cn（コンビネーション１０１のｎ）

となることが分かりますか？

これを簡単にすると

Pk={5↑(101-k)　×　101Ck}/{6↑101}

となり

Pk/Pk-1=(102-k)/5k

となります。

Pk/Pk-1＞１のとき、どんどんＰｋは大きくなっていきますから

Pk/Pk-1＞＝１を解くと
k=17　となりますから

k=16,17

でいいと思います。