数学の確率です。わかる人、お助け下さい（泣）

質問

第一問
（１）さいころを３回投げ、出た目の数を順にa、b、c、として、χの２次方程式abχ２乗－12χ＋c＝０を作るとき、この２次方程式が重解を持つ確率

（２）３個のさいころを同時に振り、出る目の最大値をM、最小値をｍとするとき、M－ｍ＝１となる確率

第二問
ｎを３以上の整数とする。このとき、以下の確率を求めなさい。
（１）さいころをｎ回投げたとき、出た目の全てが１になる確率
（２）さいころをｎ回投げたとき、出た目の数が１か２の２種類になる確率
（３）さいころをｎ回投げたとき、出た目の数が３種類になる確率

第三問
（１）１個のさいころを４回投げるとき、５以上の目が３回以上出る確率
（２）１個のさいころを４回投げるとき、少なくとも１回３の倍数の目が出る確率

回答No.5

yyssaa · ベストアンサー

第二問(３)を含め、改行位置と句読点等を見直して、再度回答します。

第一問（１）
abx^2－12x＋c＝０が重解を持つ条件は、
判別式=(-12)^2-4abc=0→abc=144/4=36。
さいころを３回投げた時の目の組合せ数は６×６×６＝２１６通り。
３回掛け合わせて３６になる目の組合せは、
１と６と６、２と３と６、３と３と４の３通り。
このうち１と６と６及び３と３と４の並べ方はそれぞれ３通りずつで、
２と３と６の並べ方は６通りあるので、
合計１２通りの並べ方すなわち目の出方がある。
よって条件abc=36となる確率は12/216=1/18。
答えは１/１８です。

第一問（２）
３個のさいころを同時に振った時に出る目の組合せ数は、
３個とも同じ目の組合せが６通り、
３個が別々の目の組合せが６×５×４＝１２０通り、
２個が同じ目の組合せが６×５＝３０通りで
合計１５６通り。
M－ｍ＝１となるMとｍの組合せは、
６と５、５と４、４と３、３と２、２と１。
それぞれの場合に残る１個の目はMかｍの２通りあるので、
合計１０通りの目の組合せでM－ｍ＝１となる。
よってその確率=10/156=5/78。
答えは５/７８です。

第二問（１）
（１/６）＾n

第二問（２）
（１/３）＾n

第二問（３）
さいころをｎ回投げたときの目の出方は全部で６＾ｎ通り・・・(ア)。
３種類の目の組合せ数は６C３＝２０通り・・・(イ)。
例えば１、２、３の３種類の目がｎ回のうちに１回以上出て、かつ、
ほかの目が出ない場合の目の出方は以下の通り。
１、２、３の３種類の目の出方は全部で３＾ｎ通り・・・(ウ)
このうち、
１種類だけの目の出方は３通り・・・(エ)
１、２がそれぞれ１回以上出る１と２だけの目の出方は
（２＾ｎ－２）通り・・・(オ)
１、３がそれぞれ１回以上出る１と３だけの目の出方は
（２＾ｎ－２）通り・・・(カ)
２、３がそれぞれ１回以上出る２と３だけの目の出方は
（２＾ｎ－２）通り・・・(キ)
(ウ)-(エ)-(オ)-(カ)-(キ)=(3^n)-3-3(-2+2^n)=(3^n)-3(2^n)+3
よって（３＾ｎ）－３(２＾ｎ）＋３通り・・・(ク)が１、２、３の
３種類の目がｎ回のうちに１回以上出て、かつ、ほかの目が出ない
場合の目の出方になります。
従って、(イ)×(ク)/(ア)=(20(3^n)-60(2^n)+60)/6^n、
答えは｛２０(３＾ｎ)－６０(２＾ｎ)＋６０｝/６＾ｎです。

第三問（１）
１個のさいころを４回投げる時の目の組合せ数は、
６＾４＝１２９６通り。
５以上の目が３回以上の組合せは、５又は６が３回又は４回出る
組合せであり、
３回の組合せは、５５５、６６６、５６６、５５６の４通り、
それぞれについて４C３＝４通りの出方があるので、
全部で４×４＝１６通りの組合せがある。
４回の組合せは、
５５５５、５５５６、５５６６、５６６６、６６６６、の５通り、
５５５５及び６６６６の出方はそれぞれ１通り計２通り、
５５５６及び５６６６の出方はそれぞれ４通り計８通り、
５５６６の出方は４C２＝６通りで、全部で１６通りの組合せがある。
以上から３回及び４回の組合せ数は１６＋１６＝３２通りあり、
５以上の目が３回以上出る確率は32/1296=2/81、
答えは２/８１です。

第三問（２）
少なくとも１回３の倍数の目が出る確率
＝１－（４回とも３と６以外の目が出る確率）
=1-(2/3)^4=1-16/81=65/81、
答えは６５/８１です。

お礼

まあ、２度までもほんとご丁寧にありがとうございます。世の中にはここまでご親切な方がいらっしゃるのですね！！

回答No.4

yyssaa

第二問（３）は少し複雑なので、別途回答します。
第一問（１）
abx^2－12x＋c＝０が重解を持つ条件は、判別式=(-12)^2-4abc=0→abc=144/4=36。
さいころを３回投げた時の目の組合せ数は６×６×６＝２１６通り。３回掛け
合わせて３６になる目の組合せは、１と６と６、２と３と６、３と３と４の３通り。
このうち１と６と６及び３と３と４の並べ方はそれぞれ３通りずつで、２と３と６
の並べ方は６通りあるので、合計１２通りの並べ方すなわち目の出方がある。
よって条件abc=36となる確率は12/216=1/18、答えは１/１８です。
第一問（２）
３個のさいころを同時に振った時に出る目の組合せ数は、３個とも同じ目の組合せ
が６通り、３個が別々の目の組合せが６×５×４＝１２０通り、２個が同じ目の
組合せが６×５＝３０通りで合計１５６通り。
M－ｍ＝１となるMとｍの組合せは、６と５、５と４、４と３、３と２、２と１。
それぞれの場合に残る１個の目はMかｍの２通りあるので、合計１０通りの目の
組合せでM－ｍ＝１となる。よってその確率=10/156=5/78、答えは５/７８です。
第二問（１）
（１/６）＾n
第二問（２）
（１/３）＾n
第二問（３）別途回答
第三問（１）
１個のさいころを４回投げる時の目の組合せ数は、６＾４＝１２９６通り。
５以上の目が３回以上の組合せは、５又は６が３回又は４回出る組合せであり、
３回の組合せは５５５、６６６、５６６、５５６の４通り、それぞれについて
４C３＝４通りの出方があるので、全部で４×４＝１６通りの組合せがある。
４回の組合せは５５５５、５５５６、５５６６、５６６６、６６６６、の５通り、
５５５５及び６６６６の出方はそれぞれ１通り計２通り、５５５６及び５６６６
の出方はそれぞれ４通り計８通り、５５６６の出方は４C２＝６通りで、全部で
１６通りの組合せがある。
以上から３回及び４回の組合せ数は１６＋１６＝３２通りあり、５以上の目が
３回以上出る確率は３２/１２９６＝２/８１、答えは２/８１です。
第三問（２）
少なくとも１回３の倍数の目が出る確率＝１－（４回とも３と６以外の目が出る
確率）＝１－（２/３）＾４＝６５/８１、答えは６５/８１です。

お礼

とても詳しい回答ありがとうございます。メチャクチャ感動しました。(^Ｕ^)/+

回答No.3

ferien

第一問
（１）さいころを３回投げ、出た目の数を順にa、b、c、として、χの２次方程式abχ２乗－12χ＋c＝０を作るとき、
>この２次方程式が重解を持つ確率
重解をもつから判別式Ｄ＝０であればよい。
Ｄ＝１２^2－４×ａｂ×ｃ＝０より、ａｂｃ＝３６になるようにａ，ｂ，ｃを決める。
（１，６，６）の場合３通り　３×（１／６）^3
（２，３，６）の場合６通り　６×（１／６）^3
（３，３，４）の場合３通り　３×（１／６）^3
確率は、１２×（１／６）^3＝１／１８

>（２）３個のさいころを同時に振り、出る目の最大値をM、最小値をｍとするとき、
>M－ｍ＝１となる確率
Ｍ－ｍ＝１となるのは、２と１、３と２、４と３、５と４、６と５の５通り
例えば、１と２について目の出方は、（１，１，２）３通り（１，２，２）３通りだから、
３×（１／６）^3＋３×（１／６）^3＝１／３６
確率は、５×（１／３６）＝５／３６

第二問
ｎを３以上の整数とする。このとき、以下の確率を求めなさい。
>（１）さいころをｎ回投げたとき、出た目の全てが１になる確率
１の目が出る確率は１／６　それがｎ回だから確率は（１／６）^n

>（２）さいころをｎ回投げたとき、出た目の数が１か２の２種類になる確率
１か２が出る確率は、２／６＝１／３　それがｎ回だから（１／３）^n

>（３）さいころをｎ回投げたとき、出た目の数が３種類になる確率
出た目の数が１種類になる確率は、（１）の場合で６通りあるから
６×（１／６）^n＝１／６^(n-1)
出た目の数が２種類になる確率は、（２）の場合で6Ｃ2通りあるから、
6Ｃ2×（１／３）^n＝５／３^(n-1)
よって、
出た目の数が３種類になる確率
＝１－（１／６^(n-1)）－（５／３^(n-1)）

第三問
>（１）１個のさいころを４回投げるとき、５以上の目が３回以上出る確率
５以上の目が出る確率＝２／６＝１／３
３回出る確率＝4Ｃ3（１／３）^3（２／３）＝８／３^4
４回出る確率＝（１／３）^4＝１／３^4
確率は、８／３^4＋１／３^4＝９／３^4＝１／９

>（２）１個のさいころを４回投げるとき、少なくとも１回３の倍数の目が出る確率
３の倍数が出ない確率＝４／６＝２／３
４回とも３の倍数が出ない確率＝（２／３）^4＝１６／３^4
少なくとも１回３の倍数の目が出る確率＝１－１６／３^4＝６５／８１

でどうでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。
前者２名が答えてこれなかったので「どうしよう、どうしよう……！？」とメチャクチャふるえていました(笑)。

回答No.2

under12

中学生の問題ですね。分からなければ、中学数学の教科書を読みましょう。

お礼

中学生の問題じゃないです！！後で友達に問い合わせたところ、どうやら青チャートからの抜粋だったようなので…

私の質問に答えてくれないコメントはいりません。あなたの場合、ちょっと言い方が意地悪だと思いますし……

それにしても青チャートの問題を中学生レベルとおっしゃるなんてunder12さんはさぞかしすごいキャリアをお持ちなのでしょうね。

回答No.1

noname#181872

> 第二問
> ｎを３以上の整数とする。このとき、以下の確率を求めなさい。
> （１）さいころをｎ回投げたとき、出た目の全てが１になる確率

これもできませんか？

お礼

すみません。一応これでも数Ι・Ａ基礎問題精構とか細野真宏の確率が本当によくわかる本とか一通りは解いたんですけどね…(-_-;)
自分は確率とは相性が悪いと思いますし、パニックになると、ほんの些細なことでも不安になるんですよ！自信満々で書いても全然違ってることもありましたし…