確率の最大値

質問

高校数学Ａの確率の最大値を扱う問題がチンプンカンプンです。
『一個のさいころを２１回投げるとき、６の目は何回出る可能性が最も大きいか』という問題です。解説では“６の目がk回でる確率をＰkとして、Ｐk+1／Ｐkと１との大小関係を調べる”といきなり説明されているのですが、まずここから理解できません。なにゆえＰk+1／Ｐkと１との大小関係を調べるのでしょうか？
また、この解説の途中計算で、Ｐk+1／Ｐk －１＝16-6k／5(k+1)となって、０≦k≦２のとき　Ｐk+1＞Ｐk　となっているのですが、この計算はどうしたらよいのでしょうか？
他のスレッドの確率の最大値を見ても、理解できなかったので質問しました。まだ高校の数学Iと数学Aしかやっていません。宜しくお願いします。

回答No.3

nettiw · ベストアンサー

k回出る確率がP(k)

P(0)=(21)Ｃ(0)*｛(1/6)^(0)｝*｛(5/6)^(21)｝
P(1)=(21)Ｃ(1)*｛(1/6)^(1)｝*｛(5/6)^(20)｝
P(2)=(21)Ｃ(2)*｛(1/6)^(2)｝*｛(5/6)^(29)｝
P(3)=(21)Ｃ(3)*｛(1/6)^(3)｝*｛(5/6)^(28)｝
P(4)=(21)Ｃ(4)*｛(1/6)^(4)｝*｛(5/6)^(27)｝
・・・・
・・・・
P(21)=(21)Ｃ(21)*｛(1/6)^(21｝*｛(5/6)^(0)｝

どこで最大になるかは、

P(k)とP(k+1)の大小関係を調べます。
本来は差では計算するのですが、
差では計算し難いので、（差のままでもＯＫです。）

割り算で計算します。
簡単になった分数を再び差に戻して、
最後の計算を仕上げます。

（１）P(k)＜P(k+1)　　⇔　　P(k)/P(k+1)＜1
（２）P(k)＝P(k+1))　⇔　　P(k)/P(k+1)＝1
（３）P(k)＞P(k+1))　⇔　　P(k)/P(k+1)＞1

（１）だけ調べれば、（２）（３）はわかります。

　k=0,1,2,・・・,20

考え方も判り難いかもしれませんが、
階乗や、指数の計算も慣れないと判り難いです。
階乗の（例）　1/5!＝6/6!、　1/k!=(k+1)/(k+1)!
指数の（例）　2^5=(2^4)*2、　｛(5/6)^(21-k)｝=｛(5/6)^(20-k)｝*(5/6)

P(k)=(21)Ｃ(k)*｛(1/6)^(k)｝*｛(5/6)^(21-k)｝
=｛21!/k!(21-k)!｝*｛(1/6)^(k)｝*｛(5/6)^(20-k)｝*(5/6)
=｛21!(k+1)/(k+1)!(21-k)!｝*｛(1/6)^(k)｝*｛(5/6)^(20-k)｝*(5/6)

P(k+1)=(21)Ｃ(k+1))*｛(1/6)^(k+1)｝*｛(5/6)^(20-k)｝
=｛21!/(k+1)!(20-k)!｝*｛(1/6)^(k)｝*(1/6)*｛(5/6)^(20-k)｝
=｛21!(21-k)/(k+1)!(21-k)!｝*｛(1/6)^(k)｝*(1/6)*｛(5/6)^(20-k)｝

（１）
P(k)/P(k+1)=5(k+1)/(21-k)＜1
5(k+1)/(21-k)＜1
5k+5＜21-k　・・・差に戻しています。
6k＜16
k＜2.666
k=0,1.2のときは、
P(0)＜P(1)＜P(2)＜P(3)

（３）
k＞2.666
k=3,4,・・・,20のときは、
P(3)＞P(4)＞P(5)＞・・・＞P(20)＞P(21)

合わせて、
P(0)＜P(1)＜P(2)＜P(3)＞P(4)＞P(5)＞・・・＞P(20)＞P(21)
となるので、

6の目が3回出るときの確率P(3)が最大となります。

お礼

回答ありがとうございます。
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回答No.4

noname#43759

0< a < b ⇔ 0<a/b<1
0< b < a ⇔ 1<a/b
となります。
たとえば、３と６の場合
3/6=0.5, 0<0.5<1
6/3=2, 1<2
となります。

a/b-1>0⇔a/b>1
a/b-1<0⇔a/b<1

これらの事実を使って求めるのです。

お礼

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回答No.2

at9_am

> ６の目がk回でる確率をＰkとして、Ｐk+1／Ｐkと１との大小関係を調べる”といきなり説明されているのですが

この問題は、P_k が最大になるkを探す問題だよね。ってことは
P_{k+1} > P_k
が成り立っているかどうか、或いは
P_{k+1} < P_k
が成り立っているかどうかを調べれば良いわけだ。ところで最大になっているところでは
P_1 < P_2 < ... < P_{k-1} < P_k > P_{k+1} > ... > P_21
が成り立っているはずだ。ということは
P_{k+1} > P_k (k = 0, 1, 2, 3, ...)
が成り立たなくなる最小のkを探せば良いことが分かる。ここから、
P_{k+1} / P_k > 1
P_{k+1} / P_k - 1 > 0
が成り立たなくなる最小のkを探せばよいことになるわけだ。

あとは２１回さいころを振ってk回６がでる確率をこの式に当てはめると、色々と約分されて残るのが質問に書かれている式だと思いますが、そこから先は確率ではなく普通の不等式の問題です。
(16 - 6k)／5(k+1) > 0
が成り立つのは k = 0, 1, 2 までだから、k = 3 のときは成り立たない。即ち
P_3 / P_2 > 1
P_4 / P_3 < 1
から
P_2 < P_3 > P_4
となることが分かる。ここから最大となるのは３回のとき、ということになる。

お礼

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回答No.1

abyss-sym

Ｐxが最大とすると,
Ｐ0＜Ｐ1＜・・・＜Ｐx-1＜ Ｐx(最大) ＞Ｐx+1＞・・・＞Ｐ21
が成り立ちます。
簡単に言うと
(６が出が少なすぎる確率) ＜ (６の回数がちょうどいい(最大)) ＞ (６が多く出すぎる確率)
が成り立つ。

Ｐk+1/Ｐk＞１⇔Ｐk+1＞Ｐk
これは,６がk回出る確率より,６がk+1回出る確率の方が高い
つまり,６がk回では少ない。もっと多く出る確率が高い。

Ｐk+1/Ｐk -1＝16-6k／5(k+1)
Ｐk+1/Ｐk-１＞0 より 16-6k/5(k+1)＞0 , 16＞6k , k＜2.66…
kは０以上の整数だから,0≦k≦2

この範囲でＰk+1＞Ｐkが成り立つ
(K=0,1,2を代入して考える)
すなわち,Ｐ0＜Ｐ1＜Ｐ2＜Ｐ3 が成り立つ。

逆に,Ｐk+1＜Ｐk のとき(６が出すぎているとき)
3≦k≦21 で成り立つ。
すなわち,Ｐ4＞Ｐ5＞Ｐ6＞・・・・Ｐ20＞Ｐ21

６が出る回数が0～3の間では確率が上昇,4～21の間では減少していく。

つまりＰ3,Ｐ4のどちらかが最大となる。
あとは,実際にＰ3,Ｐ4を求めて比べるだけです。

お礼

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