数学問題

質問

さいころを繰り返し投げ、n回目に出た目をXnとする。n回目までに出た目の積X1X2…XnをTnで表す。Tnを5で割った余りが1である確率をpnとし、余りが2,3,4のいずれかである確率をqnとする。

(1)pn+qnを求めよ。
(2)p(n+1)をpnとnを用いて表せ。
(3)rn=(6/5)^n pnとおいてrnを求めることにより、pnをnの式で表せ。

お願いします！

回答No.4

shuu_01

卓球・水泳を終えて、正解を見るのが楽しみだったのに、まだ、回答ない (;_;)

仕方ないから自分で解きます：

(1) n回 さいころを振り、1回でも 5 が出ると、5 で割り切れてしまいます
　したがって、pn + qn は n回 さいころを振り、1回も 5 の出なかった確率ですので
　pn + qn ＝ （5/6）^n

(2) n回 さいころを振り、Tn を 5で割った余りが
　0 の場合、n+1 回目に振った目がなんであれ、5 で割り切れます

　1 の場合、　　　々　　　　　　 1 か 6 の時、5で割った余りは 再び 1 になります
　　　　　　　　　　　　　　　　 その確率は 2/6 pn ＝ 1/3 pn

　2 の場合、　　　々　　　　　　 3 の時、5 で割った余りは 1 になります
　3 の場合、　　　々　　　　　　 2 の時、　　　　　々
　4 の場合、　　　々　　　　　　 4 の時、　　　　　々
　　　　　　　　　　　　　　　　 その確率は 1/6 qn

　以上を足して、
　p(n+1) ＝ 1/3 pn ＋ 1/6 qn
　　　　 ＝ 1/3 pn ＋ 1/6 ｛（5/6）^n - pn ｝
　　　　 ＝ 1/6 pn ＋ 1/6・（5/6）^n

(3)　両辺に (6/5）^(n+1) を掛けて
　(6/5）^(n+1) p(n+1) ＝ (1/6)(6/5) (6/5)^n pn ＋ (1/6)(6/5)
　　　　　　　　　　　＝ 1/5・(6/5)^n pn ＋ 1/5

　ここで、(6/5）^(n+1) p(n+1) 、(6/5)^n pn を m と置くと、
　m ＝ 1/5・m + 1/5
　特殊解　m ＝ 1/4
　(6/5）^(n+1) p(n+1) －1/4 ＝ 1/5｛(6/5)^n pn － 1/4｝
　(6/5)^n pn － 1/4 ＝ （1/5）^（n－1）｛（6/5）p1－1/4｝
　pn ＝ (3/4)(1/6)^n ＋ (1/4）（5/6）^n

【答え】
(1) pn + qn ＝ （5/6）^n
(2) p(n+1) ＝ 1/6 pn ＋ 1/6・（5/6）^n
(3) pn ＝ (3/4)(1/6)^n ＋ (1/4）（5/6）^n

回答No.3

suko22

（1）ｐｎ+ｑｎは、
Ｔｎを5で割ったとき余りが0とならない確率、すなわち1回も5が出ない確率となるので、
ｐｎ+ｑｎ＝（5/6）＾ｎ

（2）ｎ回終了時点でのＴｎを5で割ったときの余りで分類して、それぞれに対してｎ+1回目になにが出ればｐ（ｎ+1）に遷移するかを考えます。

Ｔｎが5ｍ、5ｍ+1、5ｍ+2、5ｍ+3、5ｍ+4（ｍ：整数）のときの確率をそれぞれｓｎ、ｐｎ、ｑ’ｎ、ｑ’’ｎ、ｑ’’’ｎとすると、

ｎ+1回目に
1or6が出たとき、ｐｎ→ｐ（ｎ+1）
（∵（5ｍ+1）・1＝5ｍ+1、（5ｍ+1）・6＝5（6ｍ+1）+1）
3が出たときｑ’ｎ→ｐ（ｎ+1）
2が出たときｑ’’ｎ→ｐ（ｎ+1）
4が出たときｑ’’’ｎ→ｐ（ｎ+1）
となるので、

ｐ（ｎ+1）＝（1/3）ｐｎ+（1/6）（ｑ’ｎ+ｑ’’ｎ+ｑ’’’ｎ）
　　　　　＝（1/3）ｐｎ+（1/6）ｑｎ（∵ｑｎ＝ｑ’ｎ+ｑ’’ｎ+ｑ’’’ｎ）
　　　　　＝（1/6）（ｐｎ+ｑｎ）+（1/6）ｐｎ
　　　　　＝（1/6）（5/6）＾ｎ+（1/6）ｐｎ

（3）（2）の漸化式の両辺を（5/6）＾（ｎ+1）で割ればｒ（ｎ+1）＝（1/5）ｒｎ+1/5となります。あとは自分で解いてみてください。

回答No.2

shuu_01

受験の月
漸化式について
http://examoonist.web.fc2.com/recurrence-formula.html

に説明あるよ

今回は指数型の漸化式　a（n+1）=p・an+r^n

両辺を r^(n+10 で割る特殊解型で解きなさいって問題かな？

あ、もう卓球に行かなくちゃ

回答No.1

Y_Narukami

（１）が解けない時点でどうにもならない。問題の意味自体は算数レベルですから。