確率

質問

① 1つのサイコロを投げ続けて、6の目が2回続けて出た時に終了するものとする。

[問]ちょうどn回目に終了する確率を求めよ。

②１つのさいころを投げ続けて、同じ目が２回連続して出たら終了するものとする。

[問]ちょうどn回目に終了する確率を求めよ。

この2つの違いについて尋ねたいのですが、

①
1回目:1〜5の目が出る・・・5/6
2回目:1〜5の目が出る・・・5/6
3回目:1〜5の目が出る・・・5/6
・・・
n-1回目:6の目が出る・・・1/6
n回目:6の目が出る・・・1/6

より Pn=(1/36)×(5/6)ⁿ⁻¹

②
1回目:なんでもよい・・・1
2回目:1回目以外の目・・・5/6
3回目:2回目以外の目・・・5/6
・・・
n-1回目:n-2回目以外の目・・・5/6
n回目:n-1回目と同じ目・・・1/6

より Pn=(1/6)×(5/6)ⁿ⁻²

①について
これは合っていますでしょうか。確率漸化式で解こうかと思ったのですが、できないと判断してしまったのですが、確率漸化式でもできるのでしょうか。

以下のような解答を見たのですが、

『k回目に 連続ではない6の目が出る確率を Pₖ とすれば、求める確率は Pₙ₋₁/6

P₀ = 0 , Pₖ₊₁ = (1−Pₖ)/6

であるから

Pₖ₊₁− 1/7 = −(Pₖ− 1/7)/6

数列 { Pₖ− 1/7 } は、初項 −1/7、公比 −1/6 の等比数列であるから

Pₖ = (1−(−1/6)ᵏ)/7

よって求める確率は

Pₙ₋₁/6 = (1−(−1/6)ⁿ⁻¹)/42』

「n回目に連続ではない6の目が出る確率」・・・Pn
とすると、解けない気がするのですが、どうでしょうか。
n回目に連続でない6の目が出るだけで、1〜n-1回目に連続で6の目が出る可能性がありますよね。

『連続』を確率漸化式で解くのはできない気がするのですが、どうでしょうか。

回答No.1

f272

> 1つのサイコロを投げ続けて、6の目が2回続けて出た時に終了するものとする。
> [問]ちょうどn回目に終了する確率を求めよ。

計算してみると
(-√(5))/90 *((-3*√(5)+5)/12)^(n-1) +(√(5))/90 *((3*√(5)+5)/12)^(n-1)
になった。n≧2としてサイコロをn回投げたとき
最後の2回が[6以外][6以外]となる確率をa[n]
最後の2回が[6以外][6]となる確率をb[n]
最後の2回が[6][6以外]となる確率をc[n]
最後の2回が[6][6]となる確率をd[n]
とすると，求める確率はd[n]です。
a[n+1]=(5/6)a[n]+(0/6)b[n]+(5/6)c[n]
b[n+1]=(1/6)a[n]+(0/6)b[n]+(1/6)c[n]
c[n+1]=(0/6)a[n]+(5/6)b[n]+(0/6)c[n]
d[n+1]=(1/6)b[n]
となりますので，この漸化式を解けばよい。