行列式（固有値・固有ベクトル）に関するご質問です.

質問

固有値と固有ベクトルを求める際に,通常一般的な理論の手順として,固有値を求めてから固有ベクトルを求めると思います.その際に固有値の表記法に関して疑念を抱いている私事ですが,基本的に2次元の固有値は正負に関係なく,数字の大小を比較後,表記し,固有ベクトルを解くと思うのですが,3次元になると固有値も固有ベクトルも解くところまでは普通に理解できるのですが,表記の最適な方法が理解できません.表記の方法に誤解が生じてしまうと,その後のAのn乗を求めて,元の行列式が正しいかどうかを求める際にも誤解が生じてしまうのです.言語を用いてですと,なかなか説明が難しいので,実際に数字を通して明記致します.

例1：（　1　0　-1　）
　　　（　1　2　　1　）
　　　（　2　2　　3　）

この固有値の解は,λ=1,2,3であることがわかります.<私が疑念を抱いているのはこの部分です.
この解の表記を見る限り,私的におそらく3次元は数字の小さい順に並べるのだと推測しました.
固有ベクトルの表記は割愛させて頂きます.

ですが,次の例を取り上げてみます.
例2：（　1　1　-1　）
　　　（　1　 1 -1　）
　　　（ -1 -1 3　）

この固有値の解は,λ=1,0,4であることがわかります.
この解の表記法と前例の解表記法で異なっていることがわかると思います.
先述の通り,私的の仮定で,3次元では数字の小さい順に並べるとしたら,普通はλ=0,1,4になるのではないかと思います.なのに,解の表記がλ=1,0,4になる理屈が理解できません.

また,2次元のAのn乗の求め方は理解できたのですが,例1のような3次元のAのn乗の求め方が理解できないので,過程を添えて回答をよろしくお願いします.

回答No.1

alice_44

固有値の並べかたは、好きなようでいい。
n 次行列の固有値に重根が無ければ、
固有値は n 個あり、並べかたは n！ 通りある。
そのどれもが同じ値打ちを持ち、
どの並べかたが正解ということはない。