教えて下さい。

質問

α  β を二次方程式X^2+a1x+a0=0
の相異なる二つの複素数解とする。
A,Bを任意定数とする。
複素数値関数f(x)=Aexp(αt)+Bexp(βt)は、二階の常微分方程式の解であることを示せ。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

exp(z)を簡単にe^zと書きます．eは自然対数の底です．

y=Ae^{αt}+Be^{βt}について

y'=dy/dt=Aαe^{αt}+Bβe^{βt}

y''=d^2y/dt^2=dy'/dt=Aα^2e^{αt}+Aβ^2e^{βt}

であるから

y''+a_1y'+a_0y

=Aα^2e^{αt}+Aβ^2e^{βt}+a_1(Aαe^{αt}+Bβe^{βt})+a_0(Ae^{αt}+Be^{βt})

=Ae^{αt}(α^2+a_1α+a_0)+Be^{βt}(β^2+a_1β+a_0)

ここでα，βは二次方程式x^2+a_1x+a_0=0の解だから

α^2+a_1α+a_0=0
β^2+a_1β+a_0=0

が成り立ちます．したがって，y=f(x)は二階線形定係数常微分方程式

y''+a_1y'+a_0y=0

の解であることがわかります．

回答No.2

alice_44

質問したいことが表現しきれていないような…
奇妙な質問文です。

α,β が所与の定数(α≠β),
A,B が任意の定数であるとき、
f(t) = A exp(αt) + B exp(βt) と置くと、
f'(t) = Aα exp(αt) + Bβ exp(βt),
f''(t) = A(α^2) exp(αt) + B(β^2) exp(βt)
が成立することより、三式から A,B を消去して、
f(t),f'(t),f''(t),t,α,β からなる等式を作ることができます。
それは、f(t) についての二階常微分方程式になっています。
以上、オシマイ。

α,β が何か具体的な二次方程式の解になっていることとか、
証明の本筋とは何の関係もありません。
示したいのは、本当に「二階の常微分方程式の解であること」
なんですか？