東大模試の問題です。

質問

x^2＋y^/3≦1を、原点まわりに角0、π/2n、2π/2 n、……、nπ/2nだけ回転して得られる n＋1個の 図形の共通部分の面積Ｓnとし、 (1)Ｓ1を求め よ。 (2)Ｓn(n→∞)を求めよ。 という問題なので すが、 (2)で、このＳnの面積の第１象現の部分 は、 x軸のx≧0の部分を原点まわりに角 π/2n、2 π/2n 、……、(n－1)π/2nだけ 回転して得られるn-1本の半直線によってn個の 図形に分けると こ れらは全て合同になるとのことです。

これは写真の図ではn＝3の通り、確かに合同っぽいなぁ って感じがするのですが、 なぜ合同になるので すか？

回答お願いします。

回答No.5

alice_44

一言だけでは、解りにくかったかなあ。
自明であることを強調した書き方に
してみたつもりだけど。

一個目の楕円を回転して二個目以降の
楕円を描いたのと同じやり方で、
n個の楕円からなる図形を回転すると、
各楕円が他の楕円に移って、全体では
同じ図形になる。このとき、
話題の図形どうしが相互に重なり合う。
回転移動で移り合う図形は、合同。

…を、要約すると、A No.2 になる。

回答No.4

B-juggler

Ａｌｉｃｅ先生　一言だから・・・。ご無沙汰でした。

図を見て～。色付けてみました。

楕円の番号は仮の番号だからどうでもいいからね。

で　赤と青の切片（弧とした方がいい？）は等しいね？

何故ならば、楕円１と楕円２の切片が赤ね。
楕円２と楕円３　の切片が青ね。　（第三象限にも同じのが出てるからね）

同じ楕円を同じ角度だけ回転させたものだから、切片は当然等しいね。

楕円自身は移動していないね？　移動していたらダメだよ？　とりあえずこれはいい？

黄色と緑も等しいよ。　理由は同じ、楕円の番号が違うだけね。

もちろん理詰めは大事だよ。同じ位イメージも大事よ！

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

回答No.3

hantk

図にある三等分された六角形を順にOABCDEとして、半直線とBC、CDの交点をM、Nとします。

まずその時々の半直線と楕円の交点に注目しましょう。今その交点はM、Nです。これは楕円の短軸なので、０≦θ≦π/2で回転させたとき、M、Nにそれ以上重なってくる点は存在しません。
よって図のように共通部分を分けた場合、それぞれ隣り合う楕円同士によってのみ共通部分が決定されます。

具体的にはθ＝０とθ＝π/６の楕円によって、x軸上に底辺を持つ四角形OABMが決定されます。

これはｎがいくら大きくなっても同様で、かつ全ての隣り合う楕円の偏角は等しいので、生じる各図形も全て合同であると言えます。

こんな説明でどうでしょうか?

回答No.2

alice_44

得られた共通部分を、原点まわりに角 0, π/2n, 2π/2n, …, nπ/2n だけ回転
してみれば解る。

回答No.1

peror

点に、名称を付けて証明するのは、かえってややこしいと思うので、直感的に言いますが、
３つの四角形っぽい形のｘ軸を辺にしている四角形っぽい形に注目すれば、
これを構成している二つの弧を原点を中心に３０度回転させたのが、
その隣の四角形っぽい形の弧になっています。
x軸も同様です。
下側の弧は、０回転の曲線の一部ですが、これが30度回転して、真ん中の四角形っぽい形の下の弧を形成しています。他の辺も同様。
こんな説明で通じることを願います。

補足

いやですからそれがわかりません。
>> これを構成している二つの弧を原点を中心に３０度回転させたのが、 その隣の四角形っぽい形の弧になっています。

何故そうなっていると言えるのですか？
「なっています」と仰られても、なぜ「なっている」のかわかりません。

何故回転させたら同じになるのですか？

何個も何個も楕円が重なってくり抜かれて形づけられる図形ですよ？
なぜ隣同士が合同とスパッと言えるでしょうか？
そんな単純な話ではない気がするのですが…