数学ー現代解析学入門（高橋渉）からの質問です。

質問

Ｐ２１の定理１．３．２　（７）式の証明がわかりません。
∀x(P(x)∨Q(x)) ⇒∀xP(x)∨∃xQ(x)
右辺にどうして∃がくるのかについてですが、
自分では次のような証明を考えましたが、あっているかどうかわからずすっきりしません。
もし証明がわかる方いらっしゃったらお教え願えませんでしょうか？

∀x(P(x)∨Q(x))
⇒∀xP(x)∨(∃x(Q(x)∧P´(x))
⇔(∀xP(x)∨∃x(Q(x))∧(∀xP(x)∨∀xP´(x))
⇔∀xP(x)∨∃x(Q(x)
（２段目が⇒が成り立つかどうかよくわかりません）
よろしくお願いします。

回答No.2

noname#171951 · ベストアンサー

「∃xQ(x)」でないとすると、
∀x￢Q(x)
となります。

仮定「∀x(P(x)∨Q(x)) 」より
「∀x(P(x)」が必要です。

これは「∀xP(x)∨∃xQ(x)」を示したことになります。

お礼

ありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。

１段目、２段目はそれぞれ理解できるのですが、それが最後の結論、
”「∀xP(x)∨∃xQ(x)」を示したことになります”
がちょっとわかりづらいので確認させてください。

Ａ：「∃xQ(x)」
Ｂ：「∀x(P(x)」
としたとき、「∀x(P(x)∨Q(x)) が成り立つならば
￢Ｂ⇒Ａが成り立つということでよろしいでしょうか？

そのとき￢Ｂ⇒Ａ　⇔　Ｂ∨Ａしたがって
「∀xP(x)∨∃xQ(x)」
が成り立つといえますね

回答No.5

noname#171951

#3です。

そう整理したければそれでいいんじゃないですか。

回答No.4

Tacosan

#2 を逆に説明してみる.

まず ∀x(P(x)∨Q(x)) を仮定する. んで, ∀xP(x) とすると右辺が成り立つのは自明なのでそうでないと仮定する. このとき ∃xQ(x) でないとまずい. つまり
∀x(P(x)∨Q(x)) ⇒ (￢∀xP(x) → ∃xQ(x)).

回答No.3

noname#171951

#2です。
その最終行で言っていることは、

（☆）「Aが偽ならばBが真」ゆえに「B∨Aが真」

ということです。これは明らかですが、説明を
加えてみましょう。

Aは真か偽かどちらかです。
Aが真ならB∨Aも真です。

ここまでいいですか？

Aが偽ならば、#2の回答で示したようにBが真
です。

Bが真ならB∨Aも真です。

ここまでいいですか？

以上より、Aが真だろうが偽だろうがどのみち
B∨Aも真となりました。

補足

garangさん#2,3回答ありがとうございます。
#３でおっしゃっていることは（Ｐ⇒Ｑ）　⇔　(￢Ｐ∨Ｑ）において
Ｐを￢Ａ、ＱをＢとした場合なのでよくわかります。

さて私の行いたいことは、出来る限り論理記号で証明を示したいことだったのですが、
garangさんのご指摘のロジックを元に次のような証明を考えました。

∀x(P(x)∨Q(x))
⇒（￢(∃x(Q(x))⇒∀xP(x))）
⇔(∃xQ(x)∨∀xP(x))

∴∀x(P(x)∨Q(x))⇒∀xP(x))∨∃xQ(x)

もし上の論理式で間違いがなければ、この質問は終わりにさせていただきます。
ありがとうございました。

回答No.1

itukadarekato

>Ｐ２１の定理１．３．２　（７）式の証明がわかりません。

>∀x(P(x)∨Q(x)) ⇒∀xP(x)∨∃xQ(x)
>右辺にどうして∃がくるのかについてですが

背景が良くわかりませんが単純なことを言っているのではないですか

考えている対象が1つは要素を含んでいるとします

∀xQ(x)はすべてのxについてQが成立ということです

このとき、どれでも良いから1つxをとれば
当然、このxについてQが成立します
∃xQ(x)となります

ぶっちゃけていえば
どんなxについても(何か)が成り立つのなら
勝手に1つとったxについても(何か)が成り立つ

ということに過ぎないと思います

補足

よく分かってないのにさらに質問で返して申し訳ありませんが、
∀xQ(x)⇒∃xQ(x)
とおっっしゃっているよう思えますが、
∀x(P(x)∨Q(x))についてはどのxをとってもPかQのいずれかが成り立つということですのでちょっと違うように思えるのですが。