数学に関する質問です。

質問

数学に関する質問です。

次の命題の証明がわかる方、教えてください！

「微分方程式 y"+q(x)y=0において、q(x)はx≧0で連続で、x→∞のときq(x)→1とする.
このとき、この方程式の零でない解はx≧0に(可算)無限個の零点x_1＜x_2＜…＜x_n＜…を持ち、n→∞のときx_n-x_{n-1}→πである.」

但し次の定理は使ってよい.
微分方程式[p(x)y']'+q(x)y=0…(1)において、p(x)は[a,b]で連続微分可能、q(x)は[a,b]で連続かつ
不等式0＜m_1≦p(x)≦M_1、0＜m_2≦q(x)≦M_2を満たすとする.
m_1、m_2、M_1、M_2は定数である.
(1)式の零でない解の任意の隣り合う零点をx_1、x_2(x_1＜x_2)とすれば、
π{m_1/M_2}^{1/2}≦x_2-x_1≦π{M_1/m_2}^{1/2}
が成り立つ.

見にくいかもしれませんが、回答の方よろしくお願いします。

回答No.3

noname#152421

#1=#2です。

#2への補足が腑に落ちないので、もし差し障り無ければ、専攻分野と学年を教えてください。

「零点」、「可算無限個」、「連続」、「連続微分可能」、「隣り合う」という用語は理解してますか？
また、問題文の方程式でq(x)≡1とするとどんな解になるかわかりますか？

#2の(2)がわからないとのことですが、まず、問題文の微分方程式の形をみて、使っていいといわれている定理にでてくるpやqをどう置けばいいか考えてみてください。

pとqが決まったら、m_1,M_1,m_2,M_2をひとつづつ固定してみて、「使ってよい」定理の中の不等式に当てはめてみてください。それで収束しているか判断してみてください。

(1)についてですが、#2で出したヒントは読みましたか？
微積分の基本定理というのは聞いたことありませんか？

それを使ってyを積分の形に書き換えます。y"を使うようにして、与えられた微分方程式を使って変形し、不等式で上から評価します。最終的にy(x)<0となるxの存在から矛盾を示します。

補足

数学科に通っている大学2年生です。

回答No.2

noname#152421

#1です。

補足の内容は質問文と同じに見えます。
どこがわからないか書いてもらわないと、どこを詳しく聞きたいのかがわかりません。

普通のやり方は、

(1)零点が無限個あることを示す。
(2)質問文に引用してあるヒントを当てはめる。

になると思いますが、(1)も(2)もどちらもわからないのでしょうか？

(1)は、有限個しかないと仮定すると矛盾することを示すのが普通の発想。
十分大きな数を取ると、それ以上でyは常に正と仮定してよい。微積分の基本定理を使って積分で評価していくやり方で示せます。閃きみたいなのは必要ないので、自力でごちゃごちゃ計算しているとそのうちわかるはず。

(2)は単にp,q,m_1,M_1,m_2,M_2に具体的なものを当てはめるだけです。特に悩むところはないはず。

補足

回答ありがとうございます。
正直な話(1)、(2)をどのようにやればよいかわからない状態です。
補足の内容が詳しくないもので申し訳ありませんでした。

回答No.1

noname#152421

> 次の命題の証明がわかる方、教えてください！

何を教えてほしいのでしょうか？

補足

「微分方程式 y"+q(x)y=0において、q(x)はx≧0で連続で、x→∞のときq(x)→1とする.
このとき、この方程式の零でない解はx≧0に(可算)無限個の零点x_1＜x_2＜…＜x_n＜…を持ち、n→∞のときx_n-x_{n-1}→πである.」の詳しい証明を教えてもらいたいです。