幾何の質問です。

質問

幾何学で分からない問題があります。教えてください。

「平面における直線ｌ（エル）の方程式は、
λx + μy = p
λ^2 + μ^2 =1, p ≧0

の形（Hesse の標準形）に表せる。　この時、（λ、μ）は l (エル）に垂直な方向ベクトルであり、pは原点からl（エル）に下ろした、垂線の長さ（原点と垂線の足との距離） であることを示しなさい。

回答No.2

alice_44

問題の条件に沿って、素直に…

直線 λx+μy=p 上の二点 (x1,y1), (x2,y2) を考えると、
λx1+μy1=p, λx2+μy2=p が成り立っている。
両式の辺々を引き算すると、内積について
(λ,μ)・(x1-x2,y1-y2)=0 が成り立つ。
この式は、ベクトル (λ,μ) が直線上の任意のベクトル
(x1-x2,y1-y2) と直交することを表している。
よって、(λ,μ) は直線に垂直。

原点から直線に下ろした垂線の足を (x3,y3) とすると、
(x3,y3) が直線上にあることより λx3+μy3=p、
位置ベクトルが直線に垂直より (x3,y3)//(λ,μ) が成り立つ。
後の式より x3=tλ, y3=tμ となる t があるから、
これを前の式へ代入して tλ^2+tμ^2=p.
λ^2+μ^2=1 より t=p である。
原点から直線に下ろした垂線の長さは、
√{(tλ-0)^2+(tμ-0)^2} = |t| = p と計算できる。

回答No.1

yyssaa

＞λx + μy = pはy=(-λ/μ)x+p/μだからlの方向ベクトルは
(μ,-λ)。
2個の方向ベクトルの内積=(μ,-λ)・(λ、μ)=μλ-λμ=0
よって(λ、μ)はl (エル）に垂直な方向ベクトル(証明終わり)
＞原点(0,0)を通る方向ベクトル(λ、μ)の直線の方程式は
x/λ=y/μ→y=xμ/λ
これとlとの交点(a,b)を求めると、両直線の式を連立で解いて
a=pλ/(μ^2+λ^2)=pλ
b=μp/(μ^2+λ^2)=μp
原点と交点(a,b)の距離=√(a^2+b^2)=√{p^2(λ^2+μ^2)}=p
(証明終わり)