最大最小問題でなぜこう定義するのかわかりません

質問

（２）を解くために

前の根号＝α、後の根号＝β とすし、
α≧0、β≧0、α＾2＋β＾2＝a＾2＋b＾2の時
k＝α＋βの最大値と最小値を求める。

とのご指導を頂きました。

√+√の最大値は√＾2＋√＾2で考えれば良いという
ことはわかるのですが、なぜa＾2＋b＾2と置くのか
わかりません。

数学初心者でもわかるようにご説明頂ければ幸いです。

よろしくお願い致します。

回答No.5

ereserve67 · ベストアンサー

ANo.2です．

>>（☆）α=√(a^2cos^2θ+b^2sin^2θ)，β=√(a^2sin^2θ+b^2cos^2θ)
>>α^2+β^2=a^2+b^2
>>となるわけです．置いたわけではなく，こうなってしまうのです．

この部分は解決したのですね．補足にある

>>※なお，α≧0，β≧0，α^2+β^2=a^2+b^2のとき，k=α+βとおいて・・・というやり方はいわゆる数学IIの図形と方程式の>>応用としてとらえるというものです．しかし，その場合少し注意が必要です．
>>☆⇒α≧0，β≧0，α^2+β^2=a^2+b^2
>>は正しいですが逆が成立するかどうかは自明でないからです．

この部分について，この数II的解答でなんとかならないかということですが，やはり「α≧0，β≧0，α^2+β^2=a^2+b^2」は必要条件でしかないからこれをとくと最大値は出ますが，最小値が（α,β）=(a^2+b^2,0),(0,a^2+b^2)のときa^2+b^2としてしまいがちなのでよくないと思います．十分理解している人ならa≦α，β≦b（a<b）またはb≦α，β≦a（a≧b）を付加でき，そうして正しい答を得ることができます．

図形と方程式も気をつけないといけない，微分も難しいというのであれば，三角関数の知識で次のようにやったら確実だと思います．

倍角（半角）公式よりsin^2θ=(1-cos2θ)/2,cos^2θ=(1+cos2θ)より

α=√{(a^2+b^2)/2+(a^2-b^2)cos2θ/2}

β=√{(a^2+b^2)/2-(a^2-b^2)cos2θ/2}

よって，

(α+β)^2=α^2+β^2+2αβ

=(a^2+b^2)+√{(a^2+b^2)^2-(a^2-b^2)^2cos^2(2θ)}

0≦cos^2(2θ)≦1より，(α+β)^2の最大・最小値は

cos2θ=0のとき最大値：2(a^2+b^2)
cos2θ=±1のとき最小値：(a^2+b^2)+√(4a^2b^2)=(a+b)^2

α≧0，β≧0よりα+β≧0だから，

cos2θ=0のとき最大値：√{2(a^2+b^2)}
cos2θ=±1のとき最小値：a+b

お礼

こういった論理は難しいですが、考えるのは楽しいですね。
色々と勉強になりました。ありがとうございました！

回答No.4

noname#171951

#3ですが、自分の日本語がおかしかったので訂正。

＞これにより、((sin(2θ))/2)^2はθ=0のときαβは
＞最小、θ=π/4のときαβは最大になることがわか
＞ります。

　↓　↓　↓

これにより、((sin(2θ))/2)^2が最大（小）のときαβ
も最大（小）であり、θ=0のときαβは最小、θ=π/4
のときαβは最大になることがわかります。

お礼

ご丁寧に訂正頂きありがとうございました。

回答No.3

noname#171951

なんだかやけに難しく解こうとしてますね。
普通に計算しましょうよ。

まず、
α=(a^2)((cosθ)^2)+(b^2)((sinθ)^2)
β=(a^2)((sinθ)^2)+(b^2)((cosθ)^2)
と置きます。

(L(θ))^2
=((√α)+(√β))^2
=α+β+2√(αβ)

となるので、L(θ)≧0よりαβが最大（小）のとき
L(θ)は最大（小）です。・・・・・・・・・・・・・・・（☆）

このことに触れないと、根拠無くなんとなく感覚
的に

＞√+√の最大値は√＾2＋√＾2で考えれば良
＞いということはわかる

と思ってるだけなんだろうと判断して減点（たぶ
ん零点）されるでしょうね。

（☆）を念頭に、以下、αβを評価します。

αβ
=((a^4)+(b^4))((cosθ)^2)((sinθ)^2)+(a^2)(b^2)(((cosθ)^4)+(((sinθ)^4))
=(((a^2)-(b^2))^2)(((cosθ)^2)-((cosθ)^4)))+(a^2)(b^2)
=(((a^2)-(b^2))^2)(((sin(2θ))/2)^2)+(a^2)(b^2)

となります。途中計算はご自分で確かめてください。
これにより、((sin(2θ))/2)^2はθ=0のときαβは
最小、θ=π/4のときαβは最大になることがわか
ります。

（☆）に戻って、最大値はL(π/4)、最小値はL(0)
となります。

お礼

大変勉強になりました。
ありがとうございました！

回答No.2

ereserve67

（☆）α=√(a^2cos^2θ+b^2sin^2θ)，β=√(a^2sin^2θ+b^2cos^2θ)

はいずれもθの関数です．こう定義した以上

α^2+β^2

=a^2cos^2θ+b^2sin^2θ+a^2sin^2θ+b^2cos^2θ

=a^2(cos^2θ+sin^2θ)+b^2(sin^2θ+cos^2θ)

=(a^2+b^2)(cos^2θ+sin^2θ)

となりますが，三角関数の恒等式

cos^2θ+sin^2θ=1

のため

α^2+β^2=a^2+b^2

となるわけです．置いたわけではなく，こうなってしまうのです．

※なお，α≧0，β≧0，α^2+β^2=a^2+b^2のとき，k=α+βとおいて・・・というやり方はいわゆる数学IIの図形と方程式の応用としてとらえるというものです．しかし，その場合少し注意が必要です．

☆⇒α≧0，β≧0，α^2+β^2=a^2+b^2

は正しいですが逆が成立するかどうかは自明でないからです．

☆をもう少し分かりやすく変形しましょう．

α=√(a^2(1+cos2θ)/2+b^2(1-cos2θ)/2)=√{(a^2+b^2)/2}√(1+kcos2θ)

β=√{(a^2+b^2)/2}√(1-kcos2θ)

k=(a^2-b^2)/(a^2+b^2)

-1≦cos2θ≦1であるから，例えばa>bのとき

α：b→a
β：a→b

と変化しますから，(α,β)は第一象限の四分の一円全体を動くのではなく，その一部しか動きません．

この場合，cos2θ=x(-1≦x≦1)とおいて

α+β=√{(a^2+b^2)/2}{√(1+kx)+√(1-kx)}

d(α+β)/dx=√{(a^2+b^2)/2}(k/{2√(1+kx)}-k/{2√(1-kx)})

=k√(a^2+b^2){1/√(1+kx)-/√(1-kx)}

=k√(a^2+b^2){√(1-kx)-√(1+kx)}/√(1-k^2x^2)

この符号は

k{(1-kx)-(1+kx)}=-2k^2x

に一致します．

-1≦x<0のときd(α+β)/dx>0
0<x≦1のときd(α+β)/dx<0

であるから，

x=0のとき最大値α+β=√{(a^2+b^2)/2}{2}=√(a^2+b^2)

x=±1のとき最小値

α+β=√{(a^2+b^2)/2}{√(1+k)+√(1-k)}=√{(a^2+b^2)/2}(√2a+√2b)/√(a^2+b^2)=a+b

となります．

お礼

ありがとうございました。

補足

ご丁寧なご説明誠にありがとうございます。
すごく勉強になりました！
数IIの応用とのことですが、高3生の解答として、
上記すべてを書くことは不可能ではとも思います。
この解法で簡略的に書くと減点が大きいでしょうか？
微分で解く方が得点的には確実でしょうか？
ご意見伺えれば幸いです。

回答No.1

spring135

前の質問参照

お礼

大変勉強になりました。
ありがとうございました。