最大、最小問題（横浜国大）を教えて下さい。

質問

（２）について、

「前の根号＝α、後の根号＝β とすると、
α≧0、β≧0、α＾2＋β＾2＝a＾2＋b＾2の時
k＝α＋βの最大値と最小値を求める。

半径が√(a＾2＋b＾2)の円の第一象限の部分の円に対して、
直線：k＝α＋βの値域を考える、線形計画の問題。」

とのご指導を頂き、最大値は出たのですが、最小がなぜ
a+bなのか理解できません。

どなたか教えて頂ければ幸いです。
よろしくお願い致します。

回答No.3

mister_moonlight

＞それとも、この解法は高度なので大学に入ってからで十分なのでしょうか？

この解法が高度とは思わないが、ある程度の慣れは必要だろう。
大学数学と高校数学は全く違う。こんな問題は対象ではないだろう。

先ほども書いたが、その解法が浮かばなくても、2乗して2次関数として考える方法くらいは　気がつかなければならない。
これに微分を持ち出したら、数IIIになる。
そんな事をしなくても十分に解答できる事がわかっただろう。
直ぐ、微分を持ち出したら応用力養成のためには邪魔になる。

微分は最後の手段、と憶えておいたらよい。

お礼

色々とありがとうございました！

回答No.2

mister_moonlight

＃1のレベルでは　到底理解できないようだ。直ぐ微分を持ち出すのは　頭が固い証拠。

αとβはθで与えられている。
α＾2＝a＾2*cos＾2θ+b＾2*sin＾2θ、β＾2＝b＾2*cos＾2θ+a＾2*sin＾2θ　として与えられている。
α＾2＝a＾2*cos＾2θ+b＾2*sin＾2θ＝a＾2+(b＾2-a＾2)*sin＾2θ　だから
・b＾2-a＾2≧0の時　0≦sin＾2θ≦1より　b≦α≦a、βについても同じだから　b≧β≧a　となる。
・b＾2-a＾2≦0の時　同じようにして　b≦β≦a、b≧α≧a　となる。
つまり、aとbの大小に関らず　点(α、β)は円：α＾2＋β＾2＝a＾2＋b＾2　上の　A(a、b)とB(b、a)の間しかとりえない。
したがって、直線：k＝α＋βの最小値は　傾きが　-1だから　A(a、b)とB(b、a)を通るときになる。

尚、この問題は　2乗すれば
(a＾2＋b＾2)＋2√　(a＾2*cos＾2θ+b＾2*sin＾2θ)×(b＾2*cos＾2θ+a＾2*sin＾2θ　)　　という形になるから　sin＾2θ＝α　とおくと　αの2次関数になる。
2次関数の最大、最小くらい　出来るだろう。

補足

ご回答ありがとうございます。
大変勉強になりました。

このような横国レベル受験生としては
このような解法（原理）が出来ないと
厳しいのでしょうか？

それとも、この解法は高度なので
大学に入ってからで十分なのでしょうか？

回答No.1

spring135

＞前の根号＝α、後の根号＝β とすると、
α≧0、β≧0、α＾2＋β＾2＝a＾2＋b＾2の時
k＝α＋βの最大値と最小値を求める。

何を言っているのかわかりません。実戦向きの指導ではないですね。

素直にL(Θ）をΘで微分し極致を求めれば最大、最小もわかります。

dL/dΘ=(a^2-b^2)sinΘcosΘ[√(a^2cos^2Θ+b^2sin^2Θ)-√(a^2sin^2Θ+b^2cos^2Θ)]/[√(a^2cos^2Θ+b^2sin^2Θ)√(a^2cos^2Θ+b^2sin^2Θ)]

これから√(a^2cos^2Θ+b^2sin^2Θ)-√(a^2sin^2Θ+b^2cos^2Θ)＝0を満たすものとしてΘ=π/4,3π/4,5π/4,7π/4が出てきてここで最大値√2(a^2+b^2)が出ます。

sinΘ=0またはcosΘ=0のとき最小値(a+b)が出ます。

お礼

微分でもとけるんですね！
とても参考になりました。

ありがとうございました。