最大最小問題。線形計画法の利用？？

質問

aは正の定数とする．点(x,y)は条件a|x|+|y|≦aを満たす．このとき，y-(x+1)^2の最小値，最大値を求めよ．

この問題に取り組んでいます。
a|x|+|y|≦aの範囲を図示してみて、y-(x+1)^2＝ｋとおいてみたのですが、うまくできません。

他の問題で、このような不等式が与えられていた時にy切片ｋの最大最小を求めたことがあったので同じようにできないかなと試みたのですが・・・。

このアプローチは見当違いでしょうか？
回答いただければ幸いです。よろしくお願いします

回答No.2

age_momo · ベストアンサー

>このアプローチは見当違いでしょうか？

では、この方法で考えて見ましょう。
範囲を図示すると(-1,0),(0,a),(1,0),(0,-a)を
頂点とするひし形になると思います。
次にy-(x+1)^2=kから
y=(x+1)^2+k
頂点(-1,k)の放物線になります。この曲線が
ひし形範囲を通ることを条件にkの最大値、最小値を
考えます。
kが最も大きくなるのは放物線(x+1)^2+kが
y=ax+a　と接しているときですから
(x+1)^2+k-ax-a=x^2+(2-a)x+k-a=0
判別式D=(2-a)^2-4(k-a)=0
k=a^2/4+1

最小値は(1,0)もしくは(0,-a)を通るときです。
(1,0)を通るには
y=(x+1)^2-4
(0,-a)を通るには
y=(x+1)^2-a-1
a≦3 の時は-4
a>3 の時は-a-1

回答No.3

postro

すでに解答された方々への追加です。
kの最大値は　0＜a≦2 のときは　y＝(x+1)^2 + ｋ　が直線(y=ax+a)と接するときですが、
2＜a のときは接することができなくなって、その放物線が(0,a)を通るときになると思います。

お礼

3人の方々回答ありがとうございました。
おかげさまで理解できました

回答No.1

mirage70

「うまくできません」と言うことは、
此の方法で、最小値は出てきましたね。
(最小値は、aの値により、場合分けをします)
２次方程式ですので、接することを忘れていませんか?
第２象限で接するときが最大です。