ベクトル

質問

A(5,1,-1)B(3,2,2)C(3,-1,-1)とする。
点Pが三角形ABCの周および内部の点とする。
原点をOとすると｜op↑｜の最小値を求めよ。

OP↑=oA↑+αAB↑+βAC↑とおける。
ただし、α、βは0以上1以下。

OP↑=（5-2α-2β、1+α-2β、-1+3β）
OP＾2=8β^2+4(α-6)β+14α^2-24α+27

αを固定して平方完成すると
OP^2=8{β+(α-6)/4}^2+αの二次式

軸 -(α-6)/4は0≦α≦1より5/4≦軸≦3/2より

β=1で最小となるので

OP^2≧14(α-5/7)^2+27/7

軸は定義域内だから求める最小値はルート27/7
としましたが、答えは３でした。

解答はCP↑=αCA+βCBとして同様にといていました。

計算の確認もしましたが誤りが見つかりませんでした。何がまずかったのか教えて下さい。
お願いします。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

α＝５／７、β＝１だとＰは△ＡＢＣの外部になるのでは？
αとβを独立に０以上１以下としているからではないでしょうか？

お礼

ありがとうございます。 確かに外部にある気がします… 恥ずかしいんですが、自分が設定したO Pの式は もしかしてA,B,Cが張る平行四辺形上の点でしょう か？

三角形内部に収めたいとき、α、βはどんな条件に なりますか？ ただ、α、βを解答解説でも独立に動かしてみえるの に 自分の解答がうまくいかないのが納得いかないです。

解答解説をのせます。

CP ↑=αCA+βCB ただし、α≧0、β≧0、α+β≦1 とおける。

これより OP↑ =OC+αCA+βCB よって OP↑=（3+2α，-1+2α+3β，-1+3β）

｜OP｜^2=8α^2+(12β+8)α+18β^2-12β+11

βを固定してαの関数とみると、12β+8は正だから α=0で最小となり ｜OP↑｜^2≧18β^2-12β+11=18（β-1/3）^2+9

0≦β≦1よりβ=1/3で最小値3をとる。

12β+8が正でα≧0で増加関数だからα=0で最小 となるとこ以外変わらない気がします。

すいません理解不足ですが、もう少し教えて下さい。

補足

すいません、解決しました。

α+β≦1とすれば三角形内部を表し
β≦1-αで

βが1-αで最小となりこれを代入したらうまくいきました。