確率の質問です

質問

Aの袋には白玉1個と黒玉1個が、Bの袋には黒玉3個が入っている。それぞれの袋から同時に1つずつ取って入れ替える動作を繰り返す。この動作をn回繰り返した後にAの袋に白玉が入っている確率a_nを求めよ。

図々しいようですが考え方も含めてお願いいたします。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

n回繰り返した後にAの袋に白玉が入っているのは、
(n-1)回後にAの袋に白玉が入っていてn回目にAの袋から
黒玉が取られた場合と、
(n-1)回後にBの袋に白玉が入っていてn回目にBの袋から
白玉が取られた場合。
n-1回繰り返した後にAの袋に白玉が入っている確率は
a_(n-1)で、n回目にAの袋から黒玉が取られる確率は1/2。
n-1回繰り返した後にBの袋に白玉が入っている確率は
1-a_(n-1)で、n回目にBの袋から白玉が取られる確率は1/3。
よって、
a_n=(1/2)a_(n-1)+(1/3){1-a_(n-1)}=(1/6)a_(n-1)+1/3
a_(n-1)=(1/6)a_(n-2)+1/3
a_(n-2)=(1/6)a_(n-3)+1/3
・・・・・・・・・・・・・・
a_2=(1/6)a_1+1/3だから
a_n=(1/6)a_(n-1)+1/3=(1/6)^2a_(n-2)+(1/6)(1/3)+1/3
=(1/6)^3a_(n-3)+(1/3){(1/6)^2+(1/6)+1}
=・・・・・・・・・・・・・
=(1/6)^(n-1)a_1+(1/3){(1/6)^(n-2)+(1/6)^(n-3)+・・・1/6+1}
a_1=1/2だから
a_n=(1/2)(1/6)^(n-1)+(1/3){(1/6)^(n-2)+(1/6)^(n-3)+・・・1/6+1}
=(1/6)^n+(1/3){(1/6)^(n-1)+(1/6)^(n-2)+・・・1/6+1}
=(1/6)^n+(2/5)-(2/5)(1/6)^n=(3/5)*(1/6)^n+2/5・・・・答え

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

ereserve67

Aの状態は各試行後に次の3つの状態を入れ替わる．

S_0:黒2
S_1:白1黒1

n回試行後それぞれの状態にある確率をそれぞれp_n,q_nとする．

状態遷移確率は次のようになる：

P(S_0|S_0)=2/3
P(S_1|S_0)=1/3

P(S_0|S_1)=1/2
P(S_1|S_1)=1/2

よって

(1)p_{n+1}=p_n(2/3)+q_n(1/2)

(2)q_{n+1}=p_n(1/3)+q_n(1/2)

両辺加えると

p_{n+1}+q_{n+1}=p_n+q_n

p_0=0,q_0=1であるから

p_n+q_n=1

これと(2)から

q_{n+1}=(1-q_n)(1/3)+q_n(1/2)
q_{n+1}=(1/6)q_n+1/3

q=(1/6)q+1/3(q=2/5)から

q_{n+1}-2/5=(1/6)(q_n-2/5)

q_n-2/5=(1/6)^n(q_0-2/5)

=(1/6)^n(1-2/5)=(3/5)(1/6)^n

a_n=q_nだから

a_n=2/5+(3/5)(1/6)^n

※n=0は施行前の状態と解釈する（a_0=1）．

お礼

ありがとうございました。