マルコフチェーン式を行列で

質問

マルコフチェーン式を行列でどうやりますか？
回答をみてもあんまりわからないです。誰か、教えてください。
例：
Ａの袋にしろ玉１個と黒玉２個が、Ｂの袋に黒玉３個が入っている。それぞれの袋から同時に１つずつとって入れ換える操作を繰り返す。この操作をｎ回繰り返した後に、Ａの袋に白玉が入っている確率anを求めよ。

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

１）　まず、遷移行列を求めます。
　＃２さんが言われるように、状態は白玉が入っているＡ，Ｂの２状態しかありません。
　従って、１回の操作を　遷移行列Ｍで表すとき、行列Ｍは２×２の正方行列になって、次のような成分を持ちます。
　　遷移行列Ｍの成分表示を　ｍ(ij)　とします。　ただし、ｉ，ｊ＝１，２

　　　ｍ(11)＝　白玉がＡの袋にとどまる確率（Ａ→Ａ）　＝２／３
　　　ｍ(12)＝　白玉がＡの袋からＢの袋に移動する確率（Ａ→Ｂ）　＝１／３
　　　ｍ(21)＝　白玉がＢの袋からＡの袋に移動する確率（Ｂ→Ａ）　＝１／３
　　　ｍ(22)＝　白玉がＢの袋にとどまる確率（Ｂ→Ｂ）　＝２／３

　（この成分は、＃２さんの行列と同じものです。）

２）　遷移行列Ｍを使って、問題のマルコフ過程を表します。
　　[ an, 1-an ] ＝ Ｍ^n [ 1, 0 ]
　　（上記の　[ x, y ] は（１行）２列の列ベクトルです。）

３）　遷移行列Ｍの冪乗を求めます。
　３－１）　遷移行列Ｍの固有値を求めて、対角化します。
　　　　　（行列Ｍは対称行列なので、適当な行列Ｐを作用させて対角化が可能です。）
　　　遷移行列Ｍの固有値は、　１，１／３　となります。
　　　このときの固有ベクトルは、それぞれ　[ 1, 1 ] と [ 1, -1 ] となります。
　　　従って、行列Ｐ＝[ 1, 1; 1, -1] （；で折り返してください。＃２さんと同じ表記方法です。）として、遷移行列を次のように対角化できます。

　　　Ｐ^(-1)ＭＰ＝ [ 1, 0; 0, 1/3 ]

　３－２）　行列Ｍの冪乗を求める。
　　　３－１）項で対角化した行列の冪乗を求めますと、次のようになります。

　　　｛Ｐ^(-1)ＭＰ}^n ＝ [ 1, 0; 0, 1/3^n ]

　　　これは実は、　Ｐ^(-1)　Ｍ^n Ｐ　と同じですので、上の式の左から　行列Ｐ　を掛け、右から　行列Ｐ^(-1)　を掛けて、　Ｍ^n を得ます。

　　　Ｍ^n ＝Ｐ [ 1, 0; 0, 1/3^n ] Ｐ^(-1)
　　　　　　＝[ (1+1/3^n)/2, (1-1/3^n)/2; (1-1/3^n)/2, (1+1/3^n)/2 ]

４）　an を求めます。
　　３）項で得られた遷移行列Ｍの冪乗を、２）項の式に代入することで得られます。

　　an ＝ (1+1/3^n)/2

お礼

丁寧に答えてくれて、ありがとうございました。やっと、試験の前に、理解できて、いい点をもらえました。

回答No.2

at9_am

マルコフ連鎖を行列で、ということですから、状態が 2 種類なので
P=[a11, a12; a21, a22]
という行列（；で下に折り返す）を考えれば P^n を右からかけたものになります。

したがって、初期時点 x_0=[1; 0] を考えれば n 回操作後の状態 x_n を考えれば、遷移行列 A=[2/3, 1/3; 2/3, 1/3] を考えて
x_n = A^n x_0
となります。

回答No.1

rabbit_cat

その解答をのせてくれないと、どこから分からないのか、こちらにわからないので、さらに分からない回答になってしまうかもしれませんが。

a_n = n回操作後にＡの袋に入っている白玉が０個の確率
b_n = n回操作後にＡの袋に入っている白玉が１個の確率
とすれば、
a_n+1 = b_n×1/3
b_n+1 = a_n×1/3
ですから、
(a_n+1) = ( 0 1/3)(a_n)
(b_n+1)　 (1/3 0 )(b_n)
です。
というわけで、
( 0 1/3)
(1/3 0 )
という行列のn乗を求めれば、b_nが分かります。