確率、期待値の問題 解答お願いします（数学A）

質問

ある問題集の以下の問題の解き方が分かりません、答えだけは書いてあったので知っているのですが、なぜそうなったのかが分からずにいます。
解き方を説明していただけたらうれしいです。

[1]3個のさいころを同時に投げるとき、出る目の最小値が3である確率
答え.37/216

[2]AとBがテニスの試合を行うとき、各ゲームでA,Bが勝つ確率は、それぞれ2/3、1/3であるとする。
3ゲームを先取したほうが試合の勝者になるとするとき、Aが勝者になる確率を求めよ
答え.64/81

[3]7本のくじがあり、そのうち3本が当たりであるとする。このくじをまずAが2本引き、次にBが2本引く。
このとき、次の場合の確率を求めよ。ただし、引いたくじは元に戻さないものとする。
(1) Aが1本だけ当たる　　　　答え4/7
(2) Aが1本だけ当たり、Bも1本だけ当たる　　　答え12/35
(3) Bが1本だけ当たる　　　　答え4/7

[4]黒玉4個、白玉8個が入っている袋がある。この袋から玉を1個取り出し、色を調べてから元に戻すことを3回繰り返す。黒玉が出る回数の期待値を求めよ。
答え 1回

問題が少し多いですが、ご回答よろしくお願いします。

回答No.5

asuncion · ベストアンサー

＞[3]7本のくじがあり、そのうち3本が当たりであるとする。このくじをまずAが2本引き、次にBが2本引く。
＞このとき、次の場合の確率を求めよ。ただし、引いたくじは元に戻さないものとする。
＞(1) Aが1本だけ当たる　　　　答え4/7
＞(2) Aが1本だけ当たり、Bも1本だけ当たる　　　答え12/35
＞(3) Bが1本だけ当たる　　　　答え4/7

(1)
3本の当たりくじから1本を引く場合の数=3C1=3
4本のはずれくじから1本を引く場合の数=4C1=4
Aが1本だけ当たる場合の数=両者の掛け算=12
全体の場合の数=7C2=21
求める確率=12/21=4/7

(2)
Aが1本だけ当たる確率は、(1)で求めた4/7
このとき、残りくじは5本、当たりくじは2本
2本の当たりくじから1本を引く場合の数=2C1=2
3本のはずれくじから1本を引く場合の数=3C1=3
Bが1本だけ当たる場合の数=両者の掛け算=6
全体の場合の数=5C2=10
Bが1本だけ当たる確率=6/10=3/5
求める確率=(4/7)×(3/5)=12/35

(3)
下記の3ケースを考える。
(3)-1：Aが0本当たり、Bが1本当たる
(3)-2：Aが1本当たり、Bが1本当たる
(3)-3：Aが2本当たり、Bが1本当たる

(3)-1
Aが0本当たる（つまり2本ともはずれ）場合の数=3C0×4C2=6
このとき、残り5本（当たり3本、はずれ2本）からBが1本当たる場合の数=3C1×2C1=6
全体の場合の数=7C2×5C2=210
∴(3)-1の確率=6×6/210=6/35

(3)-2
Aが1本当たる場合の数=3C1×4C1=12
このとき、残り5本（当たり2本、はずれ3本）からBが1本当たる場合の数=2C1×3C1=6
全体の場合の数=7C2×5C2=210
∴(3)-1の確率=12×6/210=12/35

(3)-3
Aが2本当たる場合の数=3C2×4C0=3
このとき、残り5本（当たり1本、はずれ4本）からBが1本当たる場合の数=1C1×4C1=4
全体の場合の数=7C2×5C2=210
∴(3)-3の確率=3×4/210=2/35

求める確率=(6+12+2)/35=4/7

お礼

詳細な解答ありがとうございます。
同じ問題でも回答者によって色々な求め方があるのですね。
参考になりました。ありがとうございました。

回答No.6

asuncion

おっとっと。

＞(3)-2
＞Aが1本当たる場合の数=3C1×4C1=12
＞このとき、残り5本（当たり2本、はずれ3本）からBが1本当たる場合の数=2C1×3C1=6
＞全体の場合の数=7C2×5C2=210
＞∴(3)-1の確率=12×6/210=12/35

このケースは前の設問(2)と全く同じです。

回答No.4

ferien

問題への質問です。

>[2]AとBがテニスの試合を行うとき、各ゲームでA,Bが勝つ確率は、それぞれ2/3、1/3であるとする。
>3ゲームを先取したほうが試合の勝者になるとするとき

テニスの試合は全部で何ゲーム行うのですか？それとも全部の試合数は関係ないのですか？

>(3) Bが1本だけ当たる　　　　答え4/7

これは、Ａが２本引いた後にBが1本だけ当たるのですか？
答えは、４／７にならないような……？　　

できれば回答お願いします。　　、

補足

テニスの試合は、先取と書いてあるので、Aが3回勝った時点で終了するんだと思います。
他の回答者様の解答をみても、おそらくそうだと思います。

Aの結果は考慮せずBが1本当たるということだと僕は解釈しています。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

[1] 最小が3なのでどれかの目が3になるはず、さいころを A, B, C とすると
　　A=3 の場合は B=3～6, C=3～6 で 16通り (1)
　 B=3 の場合 A=4～6, C=3～6 で 12通り (2) (A=3　は(1)既に数えているので)
C=3 の場合 A=4～6, B=4～6 で 9通り (3) (A=3, B=3 は(2)既に数えているので)
計 37 通り。全組み合わせは 6^3 = 216 なので 37/216

[2] 勝ちパタンを分類すると
AAA → １通り
(A 2回とB 1回)A → 3C1 = 3通り
　　(A 2回とB 2回)A → 4C2 = 6通り

　　なので (2/3)^3 + (2/3)^3(1/3) X 3 + (2/3)^3(1/3)^2 X 6 = 64/81

[3] 全組み合わせは 7C2 X 5C2 = 210
(1) Aが１回あたる場合の数は 3(A当たり) X 4(A当たらない) X 5C2(B残り５枚から２枚) = 120
120 / 210 = 4/7
(2) A, B がそれぞれ１回あたる場合の数 =
3(A当たり) X 4(A当たらない) X 2(B当たり) X 3(B当たらない) =72
72/210 = 12/35
(3) これは A が B に入れ替わるだけなので、(1)と同じです。

[4] 黒玉の確率は 4/(4+8)=1/3 なので　３回での期待値は 1/3 X 3 = 1

お礼

解答ありがとうございます。
問題を理解することが出来ました。
ありがとうございます。

回答No.2

asuncion

＞[4]黒玉4個、白玉8個が入っている袋がある。この袋から玉を1個取り出し、
＞色を調べてから元に戻すことを3回繰り返す。黒玉が出る回数の期待値を求めよ。
＞答え 1回

(4/(4+8))×3=1

お礼

解答ありがとうございます。
そんなにシンプルな式で求めれるんですね。
僕は白玉についても考えていました、、、

回答No.1

asuncion

＞[1]3個のさいころを同時に投げるとき、出る目の最小値が3である確率
＞答え.37/216

(3以上しか出ない確率)-(4以上しか出ない確率)
=((4/6)^3)-((3/6)^3)
=(64/216)-(27/216)
=37/216

お礼

分かりやすい解答、ありがとうございます。
参考になりました。