コーシーの判定法

質問

数列{an}が収束するための必要十分条件は任意のε＞０に対してある十分に大きな自然数n0 が存在して、m, n ≥ n0 ならば| an －am|＜εとなることである、という定理を証明したいのですがどうすればいいのか分かりません。分かる人、証明方法を教えてください。

回答No.2

zk43

必要条件はan→aならば、|an-am|=|(an-a)-(am-a)|≦|an-a|+|am-a|
を使えばできます。
十分条件は実数の連続性を前提にしますが、n0≦n,mならば|an-am|＜ε
とすると、m=n0に固定すると、|an-an0|＜εとなって、n0≦nなるnにつ
いてはanはan0のε近傍に入って、数列anは有界ということがわかりま
す。ここで実数の連続性を使いますが、ボルツァノ・ワイエルシュトラ
スの定理により、anは集積点を持ちます。そして、集積点がただ一つ
ならば、anは収束列であることになります。なぜならば、収束列が集積
点を２つ以上持つとすると、これらの集積点の近傍に入るanが無限個
あることになり、収束の条件に反するからです。いわば一つの点に収束
しなくなってしまう。そして集積点がただ一つならば、有限個の点を
除いてこの集積点の近傍に入り、anは収束列であることになります。
（このただ一つの集積点の近傍から外れるanが無限個あると、これらの
anが集積点をもち、別の集積点をもってしまう。）
ただ一つの集積点をもつことの証明ですが、背理法によりまして、集積
点が2個以上あったとして、そのうちの２つをaとbとし、aに収束する部
分列をa'n、bに収束する部分列をa''nとすると、
|a-b|=|-(a'n-a)+(a''m-b)+(a'n-a''m)|
≦|a'n-a|+|a''m-b|+|a''n-a''m|
n,mを十分大きくとると、
|a-b|≦ε+ε+|a''n-a''m|=2ε+|a''n-a''m|
|a''n-a''m|≧|a-b|-2ε
ここで、ε=|a-b|/4にとっておいたとすると、
|a''n-a''m|≧|a-b|/2
a≠bだから|a-b|/2＞0であり、これはコーシーの収束条件に反する。
よって、anはただ一つの集積点をもち、したがって収束列である。

お礼

詳しい説明ありがとうございます。とても助かりました

回答No.1

gururinbus

ここでの数列とは実数列のことですよね？？(^^;)

任意のε＞０に対してある十分に大きな自然数n0 が存在して、
m, n ≧n0 ならば| an －am|＜εとなるとき、
数列{an}をコーシー列と呼ぶことにします。

すると、数列{an}が収束列になることと
数列{an}がコーシー列となることが同値であることを
示せばよいということになります。

収束列ならばコーシー列となることは、ほぼ明らかです。
(∵lim an = a とすると|an －am|≦|an －a|＋|a －am|であるから)

で、問題はコーシー列ならば収束列となることの証明ですが、
とても、大雑把にいうと、
数列{an}をコーシー列とすると、数列{an}は有界となります。
数列{an}は有界であるから、数列{an}は収束する部分列を持ちます。
部分列の極限をaとするとiを十分大きくとれば、
|a_n_i - a|はいくらでも小さくできます。
あとは、|a_n - a|≦|a_n - a_n_i|＋|a_n_i - a|であるから、

a_nが収束列であることがわかります。

以上の話をε-N論法で書けば証明になると思います。

お礼

分かりやすい回答ありがとうございます。とても参考になりました