数IIの問題の解き方を教えてください☆

質問

関数 f(x)=x^3-9x^2+15x+1 は
x=1のとき極大値8、x=5のとき極小値-24
をとる。極大点と極小点を通る直線の方程式は
y=(キク)x+(ケコ)

この問題の解き方を教えてください。
『法線の方程式』の公式を使って解いたら良いのですか？

答えは
キク：-8
ケコ：16　です。
よろしくお願いします。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

#2です。

A#2の

>極大点(1,8),極小点(5,-24)の2点を通る直線の方程式だから
>　y={(-24-8)/(5-1)}(x-1)+8　...(☆)
>簡単にすると
>　y=-8x+16

(☆)の式についてより詳しく説明すると
直線
　y=ax+b
の傾きaは
a=(2点のy座標の差)/(2点のx座標の差)=((-24)-8)/(5-1)=-32/4=-8
で導出できますね。
つまり、直線
　y=-8x
は2点（極大点と極小点）を通る直線と傾きが同じ（つまり平行な）直線に過ぎません。
2点を通ることから、y=-8xを極大点(1,8)を通るように平行移動（x軸方向に1,y軸方向に8平行移動）した直線の式が
　y=-8(x-1)+8 つまり　y=-8x+16 ...(◆)
となります。x軸方向に1平行移動するにはxをx-1で置き換えることで達成できます。またy軸方向に8平行移動するにはyの式の右辺に8を加えることで達成できます。
直線y=-8xを極小点(5,-24)を通るように平行移動しても、同じ（◆）の直線の式が得られます。x軸方向に5移動するためにはxをx-5で置換えます。y軸方向に-24平行移動するにはyのs式の右辺(-24)を加えます。その結果
　y=-8(x-5)-24 つまり y=-8x+16 ...(■)
と極小点(5,-24)を通る直線が求まります。
(◆)と(■)の式は、同じ直線を表す式ですから、極大点と極小点の両方を通る直線の式であることが分かるでしょう。
2通りの平行移動の仕方のどちらでも、2点を通る直線は同じ直線の方程式になるので、
　y=-8(x-1)+8
　y=-8(x-5)-24
のどちらから、(◆)や(■)の式を嬢出しても構いません。通常は通る点の座標は、計算がより簡単になる方の点の座標を選びます。

お分かりになりましたか？

回答No.3

birth11

＃１さんの連立方程式を使った解き方でも解けますが、
もっと原点に帰って解く方法もあります。
極大点の座標( 1 , 8 )、極小点の座標( 5 , - 24 )の2点を通る直線の方程式は

y = ( - 24 - 8 ) / ( 5 - 1 ) * ( x - 1 ) + 8
= ( - 32 ) / 4 * ( x - 1 ) + 8
= - 8 ( x - 1 ) + 8
= - 8 x + 16

始めの極大値と極小値を求めるところで問題を難しく考えるようになったのですね。
折角極大値と極小値を求めることができたのだから惜しいところです。

「極大点と極小点を通る直線の方程式」を 「2点を通る直線の方程式」ととらえるところが味噌ですね。

補足

親切な回答ありがとうございます。
でも、分からない点があったので補足します。

回答してくださった式の理解ができません＾＾；

(-24-8) 、　(5-1)
これは、それぞれx軸の点とy軸の点を引いているということは理解できました。

でも(x-1)を掛けて8を足していますが
これは、どうしてこのような式になるのですか？

わかりにくくてすみません。
お願いします。

回答No.2

info22_

極大点(1,8),極小点(5,-24)の2点を通る直線の方程式だから
　y={(-24-8)/(5-1)}(x-1)+8
簡単にすると
　y=-8x+16
答えの
キク：-8
ケコ：16
が出ます。

>『法線の方程式』の公式を使って解いたら良いのですか？
法線は関係ありません。

回答No.1

asuncion

＞x=1のとき極大値8、x=5のとき極小値-24

求める直線は(1, 8), (5, -24)を通るので、
y = ax + bに2点の座標を代入する。
8 = a + b …… (1)
-24 = 5a + b …… (2)
(2)-(1)より、4a = -32, a = -8
(1)に代入して、b = 16
よって、求める直線はy = -8x + 16