数II・微分積分

質問

解答がないので自分の答えがあっているかどうか確かめたいです。

【問1】
(1)f(x)＝x＾3－3x＾2＋x＋1のとき、xの値が－1から2まで変化するとf(x)の平均変化率はアである。
また、f´(x)＝イx＾ウ－エx＋1であるから、f´(3)＝オカである。
(2)曲線y＝－x＾3＋2x＋1上の点(0,1)における接線の方程式はy＝キx＋1である。
(3)関数f(x)＝x＾3－6x＾2＋9x－1はx＝クで極大値ケをとり、x＝コで極小値サシをとる。
(4)∫(3x＾2－4x＋1)dx＝x＾ス－セx＾ソ＋x＋C(Cは積分定数)であり、∫{1→4}(x＾2＋2x－7)dx＝タチである。

【問2】
曲線C：y＝x＾3＋ax＾2＋bx＋cと放物線y＝－x＾2＋x＋1が点(1,1)において共通な接線をもつとき、b＝アイa－ウ,c＝a＋エである。
更に、曲線Cがx＝2で直線y＝2x＋dに接するときa＝オカ,b＝キ,c＝ク,d＝ケコである。

【問3】
a,bをa＜bを満たす正の整数とし、関数f(x)＝2x＾3＋3(a－b)x＾2－6abxを考える。
このとき、f(x)はx＝アイで極大値a＾ウ＋エa＾オ b,x＝カで極小値－b＾キ－クab＾ケをとる。
更に、極大値と極小値の差が27になるときa＝コ,b＝サである。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞【問1】
＞ (1)f(x)＝x＾3－3x＾2＋x＋1のとき、xの値が－1から2まで変化するとf(x)の平均変化率はアである。
f(-1)＝-4，f(2)＝-1　平均変化率＝{(-1)-(-4)}/{2－(-1)}＝3/3＝1　……ア

＞ また、f´(x)＝イx＾ウ－エx＋1であるから、f´(3)＝オカである。
f'(x)＝3ｘ^2－6ｘ＋1　……イ＝3，ウ＝2，エ＝6　f'(3)＝3・9－6・3+1＝10　…オカ

＞ (2)曲線y＝－x＾3＋2x＋1上の点(0,1)における接線の方程式はy＝キx＋1である。
f(x)＝－x＾3＋2x＋1とおくと、f'(x)＝－3ｘ^2＋2より、f'(0)＝2は接線の傾き
ｙ－1＝2(ｘ－0)より、ｙ＝2ｘ＋1　…キ＝2

＞ (3)関数f(x)＝x＾3－6x＾2＋9x－1はx＝クで極大値ケをとり、x＝コで極小値サシをとる。
f'(x)＝3ｘ^2－12ｘ＋9＝3(ｘ^2－4x＋3)＝3(ｘ－1)(ｘ－3)＝0とおくと、ｘ＝1，3で極値をとる。
増減表を書くと
ｘ＜1のとき、f'(x)＞0，1＜ｘ＜3のとき、f'(x)＜0，3＜ｘのとき、f'(ｘ)＞0　だから、
ｘ＝1のとき、極大値f(1)＝3，ｘ＝3のとき、極小値f(3)＝-1
　　……ク＝1，ケ＝3，コ＝3，サシ＝-1

＞ (4)∫(3x＾2－4x＋1)dx＝x＾ス－セx＾ソ＋x＋C(Cは積分定数)であり、∫{1→4}(x＾2＋2x－7)dx＝タチである。
∫(3x＾2－4x＋1)dx＝ｘ^3－2ｘ^2＋ｘ＋C　……ス＝3，セ＝2，ソ＝2
∫{1→4}(x＾2＋2x－7)dx＝［(1/3)x^3＋ｘ^2－7ｘ］{1→4}＝15　…タチ

＞【問2】
＞ 曲線C：y＝x＾3＋ax＾2＋bx＋cと放物線y＝－x＾2＋x＋1が点(1,1)において共通な接線をもつとき、b＝アイa－ウ,c＝a＋エである。
ｆ(x)＝x＾3＋ax＾2＋bx＋c，　g(x)＝－x＾2＋x＋1　とおくと、
f'(x)＝3ｘ^2＋2ａｘ＋ｂ，　g'(x)＝－2ｘ＋1
共通な接線だから、傾きは同じだから、f'(1)＝g'(1)より、3＋2ａ＋ｂ＝-1　
よって、ｂ＝-2ａ-4　……(1)　…アイ＝-2，ウ＝4

接点も共通だから、f(1)＝g(1)より、1＋ａ＋ｂ＋ｃ＝1
よって、ｃ＝－ａ－ｂ＝－ａ－(-2ａ-4)＝ａ＋4　……(2)　…エ＝4

＞ 更に、曲線Cがx＝2で直線y＝2x＋dに接するときa＝オカ,b＝キ,c＝ク,d＝ケコである。
f'(2)＝12＋4ａ＋ｂは接線の傾きだから、4ａ＋ｂ＋12＝2より、4ａ＋ｂ＋10＝0　……(3)

f(2)＝8＋4ａ＋2ｂ＋ｃで，(2，f(2)）における接線は、ｙ－f(2)＝2(ｘ－2)より、ｙ＝2ｘ＋f(2)－4　
これが、y＝2x＋dと一致するから、 f(2)－4＝ｄより、4ａ＋2ｂ＋ｃ＋4＝ｄ　……(4)

(1)～(4)より、連立方程式で解くと、ａ＝-3，ｂ＝2，ｃ＝1，ｄ＝-3（記号は比べてください）

＞【問3】
＞　a,bをa＜bを満たす正の整数とし、関数f(x)＝2x＾3＋3(a－b)x＾2－6abxを考える。
＞ このとき、f(x)はx＝アイで極大値a＾ウ＋エa＾オ b,x＝カで極小値－b＾キ－クab＾ケをとる。
f'(x)＝6ｘ^2＋3(ａ－ｂ)－6ａｂ＝6｛ｘ^2＋(ａ－ｂ)－ａｂ｝＝6(ｘ＋ａ)(ｘ－ｂ)
0＜ａ＜ｂだから、－ａ＜0より、－ａ＜ｂ
ｘ＜－ａのとき、ｘ＜－ａ＜ｂだから、f'(x)＞0，－ａ＜ｘ＜ｂのとき、f'(x)＜0，
ｂ＜ｘのとき、－ａ＜ｂ＜ｘだから、f'(x)＞0
よって、
ｘ＝－ａのとき、極大値f(－ａ)＝ａ^3＋3ａ^2ｂ　…アイ＝－ａ，ウ＝3，エ＝3，オ＝2
ｘ＝ｂのとき、極小値f(ｂ)＝－ｂ^3－3ａｂ^2　…カ＝ｂ，キ＝3，ク＝3，ケ＝2

＞ 更に、極大値と極小値の差が27になるときa＝コ,b＝サである。
f(－ａ)－f(ｂ)＝27より、
（ａ^3＋3ａ^2ｂ）－（－ｂ^3－3ａｂ^2）＝ａ^3＋3ａ^2ｂ＋3ａｂ^2＋ｂ^3＝（ａ＋ｂ）^3＝27
ａ＋ｂ＞0より、ａ＋ｂ＝3
ｂ＝3－ａ＞0より、0＜ａ＜3で、ａは正の整数だから、ａ＝1，2
ａ＝1のとき、ｂ＝3－1＝2で、ａ＜ｂを満たす。
ａ＝2のとき、ｂ＝3－2＝1で、ａ＞ｂだから、不適。
よって、ａ＝1　…コ，ｂ＝2　…サ

計算など確認してみてください。

お礼

回答ありがとうございました。