証明

質問

ｅ**iθ1/ｅ**iθ2＝ｅ**i（θ1-θ2)の証明をお願いします。

＊＊は乗を意味しています

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

複素数z=x+iyに対しe^z≡e^x(cosy+isiny)で定義する立場から。加法定理を用いる。

左辺=(cosθ_1+isinθ_1)/(cosθ_2+isinθ_2)
=(cosθ_1+isinθ_1)(cosθ_2-isinθ_2)/(cos^2θ_2+sin^2θ_2)
={cosθ_1cosθ_2+sinθ_1sinθ_2+i(sinθ_1cosθ_2-cosθ_1sinθ_2)}/(cos^2θ_2+sin^2θ_2)
=cos(θ_1-θ_2)+isin(θ_1-θ_2)=右辺

回答No.2

alice_44

この手の証明は、
指数関数の定義をどこに置くかで
どの証明が素直かが違ってくる。

ごく普通の、指数関数をべき級数表示で定義する
立場では、問題の等式の両辺をべき級数展開して、
各次数の係数を比較すれば示せる。

べき級数の収束は、収束円内で絶対収束のため、
部分級数の和を計算してから再総和して構わない
ことがポイントとなる。

指数関数を、他の手段で定義した場合にも、
まずマクローリン展開してしまえば、
この解法で証明できる。