証明問題

質問

E1 ⊂ E2 ⊂ · · · を可測集合の増加列とするとき
m(∪∞n=1En) = lim m(En) n→∞

証明: E1′ =E1,E2′ =E2\E1′,···,En′ =En\En－1 とおくとEi′∩Ej′ =∅(i̸=j)であり
(2.2) En =E1′ ∪E2′ ∪···∪En′ である.
よってm(En) =∑(上n下i=1) m(Ei′) であるから n → ∞ とすればよい.
(2.3) ∪∞n=1En = ∪∞i=1Ei′であることに注意せよ.
1、(2.2) を示せ.
2、 (2.3) を示せ.

この2問の示し方がわかりません。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

何が分からないのかを記載してほしいところだが...
集合の一致を示す方法は、基本的に外延性公理を使うしかないです。つまり、(∀x(x∈A→x∈B) ∧ ∀y(x∈B→x∈A)) → A=B

(2.2)
F[n] = ∪[1≦j≦n] E' [j] とおけば F[n] = E[n]となることを示せばよい。帰納法で示す。
n=1の時は自明。
n+1の時 F[n+1] = F[n]∪E' [n+1] = E[n] ∪(E[n+1] \ E[n] ) ですが、これが E[n+1]と一致することを示せばよい。
ところで、一般に X∪Y = X∪(Y\X)であることは示せますよね？これが分かれば、今の場合 E[n]⊂E[n+1]であるから、明らか。

(2.3)
∪[1≦j< ∞] E[j]⊂∪[1≦j< ∞] E'[j] であることは、x∈∪[1≦j< ∞] E[j]をとれば、あるkが存在して x∈E[k]となるが、x∈E[k] = ∪[1≦j≦k] E'[j] ⊂∪[1≦j< ∞] E'[j]であることから言える。
逆向きの ∪[1≦j< ∞] E[j]⊃∪[1≦j< ∞] E'[j] 　は、E[j]⊃E'[j] から明らか。

お礼

ご丁寧にありがとうございます。