証明

質問

e≦p＜q　のとき、　log(logq)-log(logp)<(q－p)/e が成り立つことを証明せよ

この問題がわからないです。どうやって求めるかもわかりません
よろしくお願いします。

回答No.2

4077553

考えられたと思うので。
解）
f(x)=log(logx)(ただし、x>1)とおくと
f'(x)=1/xlogxだから、平均値の定理より
{log(logq)-log(logp)}/(q－p)=1/clogc　かつ　e≦p＜q
をみたすcが存在する。
ここで、c>eより
clogc>eloge=e
変形して
1/clogc<1/e
よって
{log(logq)-log(logp)}/(q－p)<1/e
q-p>0であるから
log(logq)-log(logp)<(q－p)/e

回答No.1

4077553

2000年か2001年度の名古屋大学の入試問題ですね。
すべて教えてしまってはあなたのためにはならないので、ヒントです。
f(x)=log(logx)と置いて、「平均値の定理」を使うとあっという間に証明できます。

お礼

ありがとうございます。一回、平均値の定理を思い浮かべたのですがその時はf(x)=logx とおいてできなかったのでできませんでした。ヒントありがとうございます。