急いでます。恒等式の証明お願いします。

質問

ｘ＾１０＝a(x-1)+b(x-1)+c(x-1)+d(x-1)+e(x-1)+f(x-1)+g(x-1)+h(x-1)+i(x-1)+j(x-1)+k

は、組立除法でといたら a=1 b=10 c=45 d=120 e=210 f=252 g=210 h=120 i=45 j=10 k=1

となりました。見るからに規則性がありそうなんですけど、どうやって証明できますか？

回答待ってますm(_ _)m

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回答No.1

spring135

x^10=[(x-1)+1]^10=Σ{(i＝0から10）C(10,i)*(x-1)^(10-i)*1^i]
=Σ{(i＝0から10）C(10,i)*(x-1)^(10-i)]

C(n,r)については(a+b)^nの展開式の係数で
n=1から10まで書くと

1,1
1,2,1
1,3,3,1
1,4,6,4,1
1,5,10,10,5,1
1,6,15,20,15,6,1
1,7,21,35,35,21,7,1
1,8,28,56,70,56,28,8,1
1,9,36,84,126,126,84,36,9,1
1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1

a=1 b=10 c=45 d=120 e=210 f=252 g=210 h=120 i=45 j=10 k=1
はn=10の場合に一致します。