ベクトルを使って交点を表現したいのですが。

質問

ベクトルを使って交点を表現したいのですが。

■前提
２本の直線 L1, L2 が、それぞれ、方向ベクトル a1, a2 と
位置ベクトル p1, p2 で与えられているとします。
つまり、t1, t2 をスカラーのパラメータとして

　L1 上の点：　a1 × t1 ＋ p1
　L2 上の点：　a2 × t2 ＋ p2

と表せます。

■問題
L1 と L2 の交点 v を a1, a2, p1, p2 の４つのベクトルの式で
表現したいです。
できるだけ簡潔な式で示していただければありがたく思います。

（自分では非常に汚い式になってしまいご質問しました。）

よろしくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

L1, L2 が交わることから、a1, a2 は一次独立であり、
よって、a1, a2 を基底として、v を
v = (x1)a1 + (x2)a2　　…[1]　と表すことができる。
x1, x2 はスカラーである。

x1, x2 の値は、[1] の両辺と a1, a2 の内積をとって、
v・a1 = (x1)a1・a1 + (x2)a2・a1　　…[2]
v・a2 = (x1)a1・a2 + (x2)a2・a2　　…[3]
を x1, x2 の連立一次方程式として解けば求められる。
そのためには、v・a1, v・a2 の値が要る。

v は L1, L2 の交点だから
v = (t1)a1 + p1 = (t2)a2 + p2　…[4]　と書けるが、
[4] の各辺と a1, a2 の内積をとって、
v・a1 = (t1)(a1・a1) + (p1・a1) = (t2)(a2・a1) + (p2・a1)　…[5]
v・a2 = (t1)(a1・a2) + (p1・a2) = (t2)(a2・a2) + (p2・a2)　…[6]
となる。

[5][6] の右側のイコールを t1, t2 の連立一次方程式として解いて、
得られた t1 を [5][6] の左側のイコールへ代入すれば、
v・a1, v・a2 が、a1, a2, p1, p2 の式で表される。
その値を [2][3] へ代入して、x1, x2 を求め、[1] へ代入すれば
完了。

非常に汚い式？
非常に長いが、味わいある美しい式が出てくるよ。

t1 = { (a2・a2)(p1・a1) - (a2・a2)(p2・a1) - (a1・a2)(p1・a2) + (a1・a2)(p2・a2) } / { (a1・a1)(a2・a2) - (a1・a2)^2 }
t2 = { (a1・a2)(p1・a1) - (a1・a2)(p2・a1) - (a1・a1)(p1・a2) + (a1・a1)(p2・a2) } / { (a1・a1)(a2・a2) - (a1・a2)^2 }

x1 = { (t1)(a2・a2)(a1・a1) - (t2)(a1・a2)(a2・a2) + (a2・a2)(p1・a1) - (a1・a2)(p2・a2) } / { (a1・a1)(a2・a2) - (a1・a2)^2 }
x2 = {-(t1)(a1・a2)(a1・a1) + (t2)(a1・a1)(a2・a2) - (a1・a2)(p1・a1) + (a1・a1)(p2・a2) } / { (a1・a1)(a2・a2) - (a1・a2)^2 }

これを [1] へ。

お礼

ありがとうございます！
大変なお手間を掛けていただいて恐縮です。

「汚い／美しい」かどうかは　簡潔　とは別の話ですね。
式は長いですが、対称性がいろいろなのところにあって、
本当に興味深いですね。

質問を書く際に書き漏れがあって申し訳ありませんが、
方向ベクトル a1, a2 の大きさは１と仮定していました。
そのため、もう少し簡潔になりそうです。

補足

方向ベクトル a1, a2 の大きさを１として、
ご回答いただいた式を整理したところ、
a12 = (a1・a2) と置いて、

x1 = ( 1 - a12^2 ) { (p2・a1) - a12 (p2・a2) }
x2 = ( 1 - a12^2 ) { (p1・a2) - a12 (p1・a1) }

となりました。
本当に助かりました。
v も求めてみます。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
積の記号に「×」を使うと、ベクトルの「外積」を表すことになるので使わない方がいいですね。

2直線の交点から与えられる（決まる）値は、スカラーパラメータである t1と t2です。
これらは「直線上のどこにいるか」を表しているものです。
そして、満たすべき式は
t1* a1→+ p1→＝ t2* a2→+ p2→

となります。
条件となる式はこれだけです。
2つの未知数（t1と t2）に対して、式は 1つ・・・ではありません。

上記の式に現れる 4つのベクトル a1→, a2→, p1→, p2→を
1次独立な 2つのベクトルを用いて表し、係数比較することで t1, t2を決定できます。

そして、「1次独立な 2つのベクトル」の一番簡単なものは (1, 0)と (0, 1)です。
つまりは、成分計算をするということです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

この方針で、実際に解を示していただいたのが No.2 の方の回答と
理解いたしました。
見通しをしめしていただきまして、わかりやすくなりました。