2次元特殊ユニタリ群について

質問

SU(2)は2行2列のユニタリ行列で行列式が1であるものの全体のなす群で2次元特殊ユニタリ群のことらしいです。
また生成子としてα１からα３のパウリ行列があるということです。
では、添付図のようにSU(2)丸プラスSU(2)は何を表し、具体的にどのような行列になるのでしょうか？

http://dreistein.hatenablog.com/entry/2015/10/13/080000

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%82%A6%E3%83%AA%E8%A1%8C%E5%88%97

回答No.1

sunflower-san · ベストアンサー

SU(2) は2次元特殊ユニタリ群のことですが,
画像の su(2) はおそらくSU(2)のリー代数(SU(2)の単位元での接空間に自然にブラケット積の構造を定めたもの)のことだと思います。
su(2)は集合としては、
「複素数を成分に持つ2次正方行列のうち、対角成分の和が0, 転置して複素共役をとると(-1)倍されるような行列全体」・・・(★)
とみなすことができます。

X,Yを(★)の性質を持った行列として
[X, Y]:=X＊Y - Y＊X
(＊は行列の掛け算)
によってX, Yの"ブラケット積"を定めることにすると、この[X, Y]という2次正方行列もまた(★)の性質をみたすことが確認できます。
これがリー環としての積構造です。

丸プラス(⊕)は「直和」の意味の記号で,
リー環A, Bに対して集合としては直積集合(AとBの元の組(a,b))で,
(a,b)と(a',b')のブラケット積の構造を
[(a,b), (a',b')]:=([a, a'],[b, b']) としたものです。
直和の意味をこめて, (a,b)とかく代わりにa⊕bと表記したりします。

したがってsu(2)⊕su(2)は、
集合としては、
「(★)の性質をもった2次正方行列を二つ対角に並べ、他の成分はすべて0であるような4次正方行列」
とみなすことができます。

お礼

ご回答有難う御座います。
ご丁寧説明で良く解りました。

補足

ご回答有難う御座います。
>su(2)⊕su(2)は、
>集合としては、
>「(★)の性質をもった2次正方行列を二つ対角に並べ、他の成分はすべて0であるような>4次正方行列」
>とみなすことができます。
解りました。
SU(2)⊗ SU(2) 「直積？」とsu(2)⊕su(2) 「直和」は別のことを表すのでしょうか？
もし異なるなら、SU(2)⊗ SU(2)は具体的にどのような行列になるのでしょうか？