曲線の長さ

質問

r(t)=cost i + sint j + sint k (0<t<2π)
であらわされる曲線の長さを求めよという問題なのですが答えが出せません。
ベクトルrの導関数を出し、大きさを求め(1+cos^2 t)^1/2としたのですがこの後どのように計算すればよいのでしょうか？

回答No.1

info22 · ベストアンサー

r(t) (0≦t≦2π)は楕円（x^2+y^2=1,y=z）なります。
座標回転をすれば、X^2+Y^2/2=1　…(●)の楕円になりますので、この楕円の周囲の長さを求めれば良いですね。
しかし、高が簡単な楕円の周長でも、積分が第二種の楕円積分E(k)になりますので解析的には計算できません。つまり数値計算で積分することになりますね。
∫[0,2π]√{1+cos^2(t)}dt　…(■)　←　ここまでの式は合っています。
=4∫[0,π/4]√{1+cos^2(t)}dt
=2√6∫[0,π/4]√{1+(1/3)cos(2t)}dt
=4√2 EllipticE(1/√2)
≒7.64039558　…(▲)

(■)の積分は（●）の楕円の式から周長の積分は
4∫[0,1]{(1+x^2)/(1-x^2)}^(1/2)dx
で表せますが、やはり楕円積分になって(▲)と同じ数値計算結果が得られます。

補足

数値積分ですか、長らく使っていなかったので忘れていました。

ただ与えられた答えが3πとなっているのですが問題文の間違いでしょうか？
この問題以外にも数問ほど、同じ章のくくりで問題が与えられていて、この問題以外はすべて通常通りの積分で解くことができる問題でした。

回答No.2

info22

#1です。
A#1の補足について
>与えられた答えが3πとなっているのですが問題文の間違いでしょうか？
与えられた答えの3πが間違っていますね。
あるいは問題が間違っているかのどちらかですね。

単なる線積分に過ぎませんから
周長L=∫_C ds=∫[0,2π]√{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}dt
=4∫[0,π/2]√{sin^2(t)+2cos^2(t)}dt
=4∫[0,π/2]√{1+cos^2(t)}dt
ただ、この積分を実行するだけで
後はA#1に書いた通りです。
=4(√2)*EllipticE(1/√2)≒7.64039558

お礼

ありがとうございます、この際数値積分も復習しておきます。