接点の存在範囲と内積の最大最小

質問

ｘｙ平面上の３点O(0,0)、A(6,2)、B(1,3)に対して、
点CをOC=ｓOA+ｔOB（ベクトル）で定める。

（１）s、tがs+t=1の条件を満たしながら、変化するとき、
Cの描く図形は傾き[ア]の直線であり、ｘ軸と([イ]、0)で交わる。

（２）s、tがs≧0、t≧0、0≦s+t≦1の条件をみたしながら変化するとき、
Cの存在する範囲の領域の面積は[ウ]である。

（３）s、t、がs≧0、ｔ≧0、1≦2s+t≦2の条件を満たしながら変化するとき
Cの存在す領域をFとする。
OC=2s・(1/2)OA+tOB（ベクトル)より、Fに属する点のうち
y座標が最大となる点は([エ]、[オ])であり、
y座標が最小となる点は（[カ]、[キ])である。
Fの面積は[ク]である。

（４）Fに属する2点P、Q(P=Qでもよい)について、
内積OP・OQ（ベクトル）の最大値は[ケ]、最小値は[コ]である。

問題がかなり長くて申し訳ないです・・・

最後の問題が難しいらしいです。

（１）（２）の問題を記述で書くとき
どのようにあらわしたらよいでしょうか？

解けるかたがいらっしゃいましたら
解説お願いしますm(__)m

回答No.3

suko22 · ベストアンサー

＃２です。

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最初にANo.2の補足のところを訂正します。また計算ミスしてました。すみません。

※i　ｓ+ｔ＝1、ｓ≧0なら、
ＯＣ＝ｓＯＡ+ｔＯＢ＝ｓＯＡ+（1-ｓ）ＯＢ＝ＯＢ+ｓＢＡから点Ｃは半直線ＢＡ上の点になります。
（訂正箇所：ＡＢ→ＢＡとしました）
　ii　ｓ+ｔ＝1、ｔ≧0なら、
ＯＣ＝（1-ｔ）ＯＡ+ｔＯＢ＝ＯＡ+ｔＡＢから点Ｃは半直線ＡＢ上の点になります。
（訂正箇所：ＢＡ→ＡＢとしました）
　iii　ｓ+ｔ＝1、ｓ≧0かつｔ≧0なら、
　ｓ＝1-ｔ≧0からｔ≦1となり、0≦ｔ≦1となるので、点Ｃは線分ＡＢの内分点とみなせ、点Ｃは線分ＡＢ上の点となることがわかります。

ｓ+ｔ＝2とかｓ+ｔ/2＝2になっても考え方はまったく同じ。
このあたりのことはわかれば簡単なのでしっかり整理して実践で使えるようにしておくとよいと思います。
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(3)以降の回答です。
s≧0、ｔ≧0、2s+t＝1のとき、
ＯＣ＝2ｓ*1/2ＯＡ+ｔＯＢと変形し、ＯＡ’＝1/2ＯＡとすると、
ＯＣ＝2ｓＯＡ’+ｔＯＢ
よって、点Ｃは線分Ａ’Ｂ上の任意の点であることがわかります。

s≧0、ｔ≧0、2s+t＝2のとき、ｓ+ｔ/2＝1とし、
ＯＣ＝ｓＯＡ+ｔ/2*2ＯＢより、ＯＢ’＝2ＯＢとおくと、
ＯＣ＝ｓＯＡ+ｔ/2ＯＢ’
よって、点Ｃは線分ＡＢ’上の任意の点であることがわかります。

ゆえに、s≧0、ｔ≧0、1≦2s+t≦2における点Ｃの動く領域は四角形ＡＡ’ＢＢ’の内部（境界線上含む）になります。
四角形ＡＡ’ＢＢ’＝△ＯＡＢ’-△ＯＡ’Ｂ＝1/2｜6*6-2*2｜-1/2｜3*3-1*1｜＝16-4＝12

ｙ座標が最大になるのは点Ｂ’（2,6）
ｙ座標が最小になるのは点Ａ’（3,1）

この辺は図を書きながら進めていってください。

(4)ＯＰ・ＯＱ＝｜ＯＰ｜｜ＯＱ｜cosθ≦｜ＯＰ｜｜ＯＱ｜
　｜ＯＰ｜と｜ＯＱ｜が最大値をとる時内積も最大値をとる。
　この値が最大になるのは点Ｐと点Ｑが点Ｂ’または点Ａと等しいときであるから、
　｜ＯＰ｜＝｜ＯＡ｜＝√（6＾2+2＾2）＝√40
　同様に｜ＯＱ｜＝｜ＯＡ｜＝√40
　よって、ＯＰ・ＯＱ＝√40*√40＝40（最大値）

最小値は導出に少し工夫がいります。図形的に考えれば、点Ａ’と点Ｂがそれぞれ点Ｐまたは点Ｑであれば最小とわかりますが、ここでは内積の成分計算で考えてみます。

ＯＰ・ＯＱが最小になるのは点Ｐと点Ｑが線分Ａ’Ｂ上にあるとき。どこにあるときかがはっきりしないので、
点Ｐが線分Ａ’Ｂをu:1-uに内分する（0≦u≦1）
点Ｑが線分Ａ’Ｂをv:1-vに内分する（0≦v≦1）点であるとすると、
ＯＰ＝（1-u）ＯＡ’+uＯＢ＝（3-2u,1-2u）
ＯＱ＝（1-v）ＯＡ’+vＯＢ＝（3-2v,1-2v）
ＯＰ・ＯＱ＝(3-2u)(3-2v)+(1-2u)(1-2v)=9-2u-2v+4uv+1-2u-2v+4uv=10-4u-4v+8uv
=10+8(uv-1/2u-1/2v)=8+8(u-1/2)(v-1/2)
ここでuとvは独立に0≦u≦1、0≦v≦1を動くことから、u=0,v=1またはu=1,v=0のときこの値は最小になることがわかる。
よって、ＯＰ・ＯＱ＝8+8*（-1/2）*（1/2）＝8-2＝6

計算は自分で確認してください。

お礼

学校でやったやり方でといてあって
わかりやすくてとても助かりました^^*

ありがとうございました♪

回答No.2

suko22

ベクトル省略します。

(1)ｓ+ｔ＝1を満たすとき、点Ｃの描く図形は直線ＡＢとなる。
　直線ＡＢは点Ａ（6,2）、点Ｂ（1,3）を通るから、傾きは（3-2）/（1-6）＝-1/5
　直線の方程式はｙ-3＝-1/5（ｘ-1）
　ｘ軸との交点を求めるためにｙ＝0を代入すると、ｘ＝16　

(2)0≦ｓ+ｔ≦1かつｓ≧0かつｔ≧0を満たすとき、点Ｃは△ＯＡＢの内部に存在する（境界線上を含む）。△ＡＢＣ＝1/2｜6*3-2*1｜＝8

※公式を忘れてしまっていたら、この程度の問題なら図を書いて3点を長方形で囲って、3つの直角三角形を引くという中学レベルの知識を使って解いてもいいです。

※i　ｓ+ｔ＝1、ｓ≧0なら、
ＯＣ＝ｓＯＡ+ｔＯＢ＝ｓＯＡ+（1-ｓ）ＯＢ＝ＯＢ+ｓＡＢから点Ｃは半直線ＡＢ上の点になります。
　ii　ｓ+ｔ＝1、ｔ≧0なら、
ＯＣ＝（1-ｔ）ＯＡ+ｔＯＢ＝ＯＡ+ｔＢＡから点Ｃは半直線ＢＡ上の点になります。
　iii　ｓ+ｔ＝1、ｓ≧0かつｔ≧0なら、
　ｓ＝1-ｔ≧0からｔ≦1となり、0≦ｔ≦1となるので、点Ｃは線分ＡＢの内分点とみなせ、点Ｃは線分ＡＢ上の点となることがわかります。

ｓ+ｔ＝2とかｓ+ｔ/2＝2になっても考え方はまったく同じ。
このあたりのことはわかれば簡単なのでしっかり整理して実践で使えるようにしておくとよいと思います。

(3)以降は時間があったら回答しますね。

回答No.1

ferien

＞ｘｙ平面上の３点O(0,0)、A(6,2)、B(1,3)に対して、
＞ 点CをOC=ｓOA+ｔOB（ベクトル）で定める。
ＯＡ＝(6,2)，ＯＢ＝(1,3)
ＯＣ＝ｓ(6,2)＋ｔ(1,3)＝（６ｓ＋ｔ，２ｓ＋３ｔ）
ｘ＝６ｓ＋ｔ，ｙ＝２ｓ＋３ｔとおく。
連立方程式として、ｓ，ｔについて解くと、
ｓ＝(3/16)ｘ－(1/16)ｙ，　ｔ＝－(1/8)ｘ＋(3/8)ｙ　……(*)

＞（１）s、tがs+t=1の条件を満たしながら、変化するとき、
＞ Cの描く図形は傾き[ア]の直線であり、ｘ軸と([イ]、0)で交わる。
(*)より、ｓ＋ｔ＝(1/16)ｘ＋(5/16)ｙ＝1 だから、
直線の式は、ｙ＝－(1/5)ｘ＋16/5
よって、傾き＝－1/5　……ア
直線の式で、ｙ＝０とおくと、(1/5)ｘ＝16/5より、ｘ＝16
よって、ｘ軸と(16,0)で交わる。　……イは16

＞（２）s、tがs≧0、t≧0、0≦s+t≦1の条件をみたしながら変化するとき、
＞ Cの存在する範囲の領域の面積は[ウ]である。
(*)より、ｓ＝(3/16)ｘ－(1/16)ｙ≧０だから、ｙ≦３ｘ……(1)
ｔ＝－(1/8)ｘ＋(3/8)ｙ≧０だから、ｙ≧(1/3)ｘ　……(2)
ｓ＋ｔ＝(1/16)ｘ＋(5/16)ｙだから、０≦(1/16)ｘ＋(5/16)ｙ≦１より、
ｙ≧－(1/5)ｘ　……(3)，　ｙ≦－(1/5)ｘ＋16/5 　……(4)
(1)～(4)の不等式の共通領域は、△ＯＡＢの周と内部
△ＯＡＢの面積＝長方形－３つの直角三角形（図を描いてください。）
＝３×６－(1/2)×１×３－(1/2)×６×２－(1/2)×(6-1)×(3-2)
＝８　……ウ

＞（３）s、t、がs≧0、ｔ≧0、1≦2s+t≦2の条件を満たしながら変化するとき
＞ Cの存在す領域をFとする。
＞ OC=2s・(1/2)OA+tOB（ベクトル)より、Fに属する点のうち
＞ y座標が最大となる点は([エ]、[オ])であり、
＞ y座標が最小となる点は（[カ]、[キ])である。
＞ Fの面積は[ク]である。
(1/2)ＯＡ＝(6/2、2/2)＝(3,1)
ＯＣ＝2ｓ(3,1)＋ｔ(1,3)＝（３・2ｓ＋ｔ，2ｓ＋３ｔ）
ｘ＝３・2ｓ＋ｔ，ｙ＝2ｓ＋３ｔとおく。
連立方程式として、2ｓ，ｔについて解くと、
2ｓ＝(3/8)ｘ－(1/8)ｙ，　ｓ＝(3/16)ｘ－(1/16)ｙ，　ｔ＝－(1/8)ｘ＋(3/8)ｙ
だから、(*)と同じ
s≧0、ｔ≧0より、ｙ≦３ｘ……(1)，　ｙ≧(1/3)ｘ　……(2)
2ｓ＋ｔ＝(1/4)ｘ＋(1/4)ｙだから、1≦(1/4)ｘ＋(1/4)ｙ≦２より、
ｙ≧－ｘ＋４　……(5)，　ｙ≦－ｘ＋８　……(6)
(1)(2)(5)(6)の不等式の共通領域がＦ（図を描いてください。）
ｙ＝(1/3)ｘとｙ＝－ｘ＋４の交点をＣ，ｙ＝３ｘとｙ＝－ｘ＋８の交点をＤとすると、
Ｃ(3,1)，Ｄ(2,6)　で、Ｆは台形ＡＣＢＤの周と内部です。
よって、
y座標が最大となる点は、Ｄ(2,6)　……エは2，オは6
y座標が最小となる点は、Ｃ(3,1)　……カは3，キは1

Ｆの面積＝△ＯＡＤ－△ＯＣＢ
｜ＯＢ｜＝｜ＯＣ｜＝√（１^2＋３^2）＝√10
｜ＯＡ｜＝｜ＯＤ｜＝√（６^2＋２^2）＝√40＝2√10
｜ＢＣ｜＝√｛（3-1）^2＋（1-3）^2｝＝√8＝2√2
余弦定理より、
cos∠DOA＝cos∠BOC＝（ＯＢ^2＋ＯＣ^2－ＢＣ^2）/2・ＯＢ・ＯＣ
＝（10＋10－8）/2・√10・√10
＝12/20
＝3/5より、
sin∠DOA＝sin∠BOC＝√｛1－（3/5）^2｝＝√(16/25）＝4/5　
△ＯＡＤ＝(1/2)・ＯＡ・ＯＤ・sin∠DOA＝(1/2)・2√10・2√10・（4/5）＝16
△ＯＢＣ＝(1/2)・ＯＢ・ＯＣ・sin∠BOC＝(1/2)・√10・√10・(4/5）＝4
よって、Ｆの面積＝１６－４＝１２　……ク

＞（４）Fに属する2点P、Q(P=Qでもよい)について、
＞ 内積OP・OQ（ベクトル）の最大値は[ケ]、最小値は[コ]である。
ＯＰ・ＯＱ＝｜ＯＰ｜・｜ＯＱ｜・cos∠POQ　だから、
∠POQ＝０°で、｜ＯＰ｜・｜ＯＱ｜が最大のとき、最大値
∠POQが最大で、｜ＯＰ｜・｜ＯＱ｜が最小のとき、最小値　をとる。

最大になるのは、ＰとＱが一致して、それがＡかＤのとき、
cos∠POQ＝1，｜ＯＰ｜＝｜ＯＱ｜＝2√10だから、
ＯＰ・ＯＱ＝2√10・2√10・1＝４０　……ケ
最小になるのは、ＰとＱがＢとＣ（またはＣとＢ）に対応するとき、
cos∠BOC＝3/5，｜ＯＰ｜＝｜ＯＱ｜＝√10だから、
ＯＰ・ＯＱ＝√10・√10・（3/5）＝６　……コ

でどうでしょうか？　グラフを描いて考えてみてください。

お礼

新たな解き方を学べて、嬉しいです^^

ありがとうございました^^*