最大、最小を求める 大学受験

質問

よろしくお願いします。

0<a<b<3のとき、
Y=-b/2(a-b/2)^2+1/8b^３-3/2b^2+9/2b
である。このとき面積が最大になるときのa,bの値を求めよです。

解答は、面積をｓとするとｂ＞０であるから、-b/2(a-b/2)^2≦０
よって、
S≦1/8b^３-3/2b^2+9/2b---※
等号が成立するのは、a=b/2のときである。---※２
F(b)= 1/8b^３-3/2b^2+9/2bとおくと、。。。
として、F(b)の最大値を求めています。

そこで質問ですが、※と※２のところは解答に書いてどういう意味があるんでしょう？※と※２が成立するのはわかりますが、それを書く意味がわかりません。
またもう一つ疑問なのは、ｓの最大になる条件として私は二つあると思います。
一つは回答のようにF(b)が最大になるとき、もう一つは、-b/2(a-b/2)^2が最大となるときです。なぜなら、これが最大になれば、sはマイナス部分が小さくなるので、ｓは大きくなると思うのです。でも、解答では、一つ目しか考慮されていないように思います。等号成立のみ確認がされていますが、等号成立のときがｓが最大になるときではないような気がします。

以上二点がわかりません。どなたかおわかりのかた、教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

celsior40 · ベストアンサー

Ｙ＝Ｓですよね。
ところで、条件として下記2点がありますね。
条件１：「0<a<b<3」
条件２：
Y（＝S)
=-b/2(a-b/2)^2+1/8b^３-3/2b^2+9/2b
=-｛b/2(a-b/2)^2｝+｛1/8b^３-3/2b^2+9/2b｝
ここで、
s1=-｛b/2(a-b/2)^2｝
s2=｛1/8b^３-3/2b^2+9/2b｝
とおくと、

ここで、条件１より、
s1≦０（s1が正になることはない）
ですよね。

そしてs2に関しては、
bの値によって変動します。

さらに、s1は、bを決めれば、
a=b/2とおけば、s1＝０（負にはならない）
となりますね。

よって、「S（＝s1+s2)を最大にする」という問題は、
「s2を最大にしなさい」という問題と等しいことになります。

ここで、解答では、s2＝F（b）とおいているようですね。
なぜなら、s2は、bを定義域とした、s2の値域を求めているからです。

ところで、※については、
S=s1+s2と、s1≦０より、
S=s1+s2
⇔
s1=S-s2(≦０)
⇔
S≦s2(=｛1/8b^３-3/2b^2+9/2b｝)
⇔
※

※２については、
すでに上記に書いてますね。

もうひとつ（「-b/2(a-b/2)^2が最大となるとき」）については、
s1=-｛b/2(a-b/2)^2｝
と
s1≦０
より、
「-b/2(a-b/2)^2」の最大値は、０ですよね。
（これについても、上記に書いています。）

以上が解説です。

お礼

ご回答ありがとうございます。
s1≦０（s1が正になることはない）
の部分、どうして解答に必要なのかがわかりませんでしたが、これは、s1は正にならない、０より小さい、言い換えればつまり、s1の最大は0
ということなのですね。そしてｓ２の最大を求めてそのときｂを決定すれば、a=b/2よりaの値が求まり、そのときs1も最大になるということですね。

すごくよくわかりました。いつもは質問してからご回答を頂くまでに時間があって、なにが自分がよくわからなかったのかまでわからなかったこともあったのですが、今回は早速ご回答いただきましたので、自分でもすぐに取り組むことができました。貴重なアドバイスをありがとうございました。

回答No.3

celsior40

No1の者ですが、
s1=-｛b/2(a-b/2)^2｝
s1≦０
と書いたことについて補足解説します。

-｛b/2(a-b/2)^2｝において、
(a-b/2)^2については、明らかに
(a-b/2)^2≧０（０または正の数）
ですね。
bについては、0<a<b<3より、
0<b（正の数）
ですね。

よって、
-｛b/2(a-b/2)^2｝≦０
となります。
ここで、
等号（＝）が成り立つのは、
a-b/2＝０のときとなりますね。
すなわち、
a-b/2＝０
⇔
a＝b/2
のときとなります。
これが、
※２についての解説であり、
「もう一つは、-b/2(a-b/2)^2が最大となるときです。」
についての解説です。

お礼

ご回答ありがとうございます。よくわかりました。

回答No.2

hiccup

各 b の値に対して最大を与える a が存在して a=b/2 のときである。これが F(b) で、最大値の候補者たちである。次に各 F(b) の中からチャンピオンを選ぶ、というシナリオです。

※ は S が F(b) でおさえられることを言っています。等号が成り立つとすれば「 -b/2(a-b/2)^2が最大となるとき」すなわちそれが 0 になるときですが、※２ は S = F(b) になる a が存在する（ 0 < b/2 < b だから）ことを言っています。

お礼

ご回答ありがとうございます。
今更ですが、うまく考えたものですね～。
こういう方法を考える人ってすごい。。。昔の賢人？
なるほど、私が最大を求めるのに必要だと考えた二点についてちゃんと考慮されていますね。a=b/2でb/2(a-b/2)^2が最大、ですね。
大変参考になりました。自分でもこのような回答を作れるよう練習したいと思います。ありがとうございました。