高校数学III（定積分）

質問

積分 a_n の計算方法を教えてください。
できれば lim[n → ∞] a_n もお願いします。
(1), (2) だけでもいいのでご教示ください。

回答No.7

ereserve67 · ベストアンサー

もっとシンプルに改良しました．

a_nについて

x=-yと置換します．

cosx=cosy

1/(e^{tanx}+1)=1/(e^{-tany}+1)=e^{tany}/(e^{tany}+1)

π/4≧y≧-π/4，dx=-dyです．

a_n=∫_{-π/4}^{π/4}(1/cos^nx)1/(e^{tanx}+1)dx
=∫_{π/4}^{-π/4}(1/cos^ny)e^{tany}/(e^{tany}+1)(-1)dy
=∫_{-π/4}^{π/4}(1/cos^ny)e^{tany}/(e^{tany}+1)dy
=∫_{-π/4}^{π/4}(1/cos^nx)e^{tanx}/(e^{tanx}+1)dx

ゆえに

a_n+a_n=∫_{-π/4}^{π/4}(1/cos^nx)1/(e^{tanx}+1)dx+∫_{-π/4}^{π/4}(1/cos^nx)e^{tanx}/(e^{tanx}+1)dx
=∫_{-π/4}^{π/4}(1/cos^nx)(1+e^{tanx}}/(e^{tanx}+1)dx
=∫_{-π/4}^{π/4}(1/cos^nx)dx=2∫_0^{π/4}(1/cos^nx)dx

a_n=∫_0^{π/4}(1/cos^nx)dx

(1)

a_1についてt=tanxとおくと1/cosx=√(1+t^2),dt=dx/cos^2x,dx=dtcos^2x=dt/(1+t^2),0≦t≦1

a_1=∫_0^{π/4}(1/cosx)dx
=∫_0^1√(1+t^2)/(1+t^2)dt
=∫_0^1{1/√(1+t^2)}dt
=[log{t+√(1+t^2)}]_0^1
=log(1+√2)

a_2について

a_2=∫_0^{π/4}cos^{-2}xdx=[tanx]_0^{π/4}=1

(2)f(x)=1/cosxとおきます．0≦x≦π/4のとき

f(x)≧1 （等号はx=0の時に限る）

よってn>mのとき

f^n≧f^m （等号はx=0の時に限る）

a_n-a_m=∫_0^{π/4}(f^n-f^m)dx>0

a_n>a_m

※a_n=∫_0^{π/4}dx/cos^nxにおいてt=tanxとおくと，

a_n=∫_0^1(1+t^2)^{(n-2)/2}dt
>∫_{1/2}^1(1+t^2)^{(n-2)/2}dt
>∫_{1/2}^1(1+1/4)^{(n-2)/2}dt
=(1+1/4)^{(n-2)/2}(1-1/2)
=(1/2)(5/4)^{(n-2)/2}→∞

>投稿日時 - 2012-10-23 00:03:53
>お礼
>t = tan(x) と置換するメリットについて考え込んでいます。ただちに x = -s と置換できそうなので、そこを調べています。

仰るとおりです．置換t=tanxによってa_1の計算で三角関数の積分を有名積分（√(t^2+1)を含む積分）にもっていくことができるくらいですかね．あと上記のとおりa_∞=∞の証明が少し具体化します．

なお，1/cos^nxの不定積分は岩波数学公式Iに載っています．

お礼

とてもわかりやすい解答をかいてくださって、ありがとうございます。
a_1 を求めるときは、部分分数分解よりも t = tan x と置換して積分するほうが簡単だと感じました。
1/√(1 + t^2) の原始関数は知りませんでしたが、微分したら 1/√(1 + t^2) に戻ってくれました。
岩波数学公式は持っていませんが、機会があったら読んで確認しておきます。

回答No.6

ereserve67

シンプルな回答を

a_nについて

t=tanxと置換します．cosx=(1+t^2)^{-1/2},-1≦t≦1で，dt=dx/cos^2x,dx=dt(1+t^2)^{-1}です．

a_n=∫_{-π/4}^{π/4}dx/{cos^nx(e^{tanx}+1)}
=∫_{-1}^1dt(1+t^2)^{-1}/{(1+t^2)^{-n/2}(e^t+1)}
=∫_{-1}^1dt(1+t^2)^{(n-2)/2}/(e^t+1)}

ここで

f_n(t)=(1+t^2)^{(n-2)/2}

とおきます．

a_n=∫_{-1}^1dtf_n(t)/(e^t+1)

ここでt=-sと置換します．f_n(t)=f_n(-s)=f_n(s)より

a_n=∫_1^{-1}(-1)dsf_n(-s)/(e^{-s}+1)
=∫_{-1}^1dse^sf_n(s)/(1+e^s)
=∫_{-1}^1dte^tf_n(t)/(e^t+1)

ゆえに

a_n+a_n=∫_{-1}^1dtf_n(t)/(e^t+1)+∫_{-1}^1dte^tf_n(t)/(e^t+1)
2a_n=∫_{-1}^1dt(1+e^t)f_n(t)/(e^t+1)
=∫_{-1}^1dtf_n(t)
=∫_{-1}^1dt(1+t^2)^{(n-2)/2}=2∫_0^1(1+t^2)^{(n-2)/2}dt

a_n=∫_0^1(1+t^2)^{(n-2)/2}dt
=∫_0^{π/4}(1+tan^2x)^{(n-2)/2}cos^{-2}xdx
=∫_0^{π/4}cos^{-(n-2)}cos^{-2}xdx

a_n=∫_0^{π/4}cos^{-n}xdx

(1)

a_1について

a_1=∫_0^{π/4}(1/cosx)dx=∫_0^{π/4}(cosx/cos^2x)dx=∫_0^{1/√2}d(sinx)/(1-sin^2x)
=∫_0^{1/√2}ds/(1-s^2)=(1/2)∫_0^{1/√2}[{(1+s)+(1-s)}/{(1-s)(1+s)}]ds
=(1/2)∫_0^{1/√2}{1/(1-s)+1/(1+s)}ds=(1/2)[-log(1-s)+log(1+s)]_0^{1/√2}
=(1/2)[log{(1+s)/(1-s)}]_0^{1/√2}=(1/2)log{(1+2^{-1/2})/(1-2^{-1/2})}
=(1/2)log{(1+2^{-1/2})^2/(1/2)}=log{(1+2^{-1/2})/(2^{-1/2})}
=log(√2+1)

a_2について

a_2=∫_0^{π/4}cos^{-2}xdx=[tanx]_0^{π/4}=1

(2)0≦x≦π/4のとき1/√2≧cosx≧1で等号はx=0,π/4以外では成り立たない．m<nのとき

(0<)cos^m≧cos^nx

∴(0<)1/cos^mx≦1/cos^nx

これは等号はx=0の時以外成立しない．よって両辺を[0,π/4]で積分して，

∫_0^{π/4}dx/cos^mx<∫_0^{π/4}dx/cos^nx

すなわちa_m<a_n．

※a_n=∫_0^{π/4}dx/cos^nxについて0<δ<π/4となる定数をとり，

a_n=∫_0^δ(1/cosx)^ndx+∫_δ^{π/4}(1/cosx)^ndx

とする．[δ,π/4]において1>cosδ≧cosx≧1/√2すなわち

1/cosδ≦1/cosx≦√2

(1/cosδ)^n≦(1/cosx)^n≦(√2)^n

[δ,π/4]で積分すると

(π/4-δ)(1/cosδ)^n≦∫_δ^{π/4}(1/cosx)^ndx

∴(π/4-δ)(1/cosδ)^n≦∫_0^δ(1/cosx)^ndx+(π/4-δ)(1/cosδ)^n≦∫_0^{π/4}(1/cosx)^ndx=a_n

1/cosδ>1より

a_n≧(π/4-δ)(1/cosδ)^n→∞

よって

lim_{n→∞}a_n=∞

お礼

計算が難しくて、もう少し考えないとついていけないので時間をください。
a_n = ∫[0 → π/4] 1/cos^n(x)dx とはシンプルですが、t = tan(x) と置換するメリットについて考え込んでいます。
ただちに x = -s と置換できそうなので、そこを調べています。

3回も回答してくださり、ありがとうございました。

回答No.5

ereserve67

(1)
a_1について

t=tanxと置換します．cosx=(1+t^2)^{-1/2},-1≦t≦1で，dt=dx/cos^2x,dx=dt(1+t^2)^{-1}

a_1=∫_{-π/4}^{π/4}dx/{cosx(e^{tanx}+1)}
=∫_{-1}^1dt(1+t^2)^{-1}/{(1+t^2)^{-1/2}(e^t+1)}
=∫_{-1}^1dt/{(1+t^2)^{1/2}(e^t+1)}

ここでt=-sと置換します．

a_1=∫_1^{-1}(-1)ds/{(1+s^2)^{1/2}(e^{-s}+1)}
=∫_{-1}^1dse^s/{(1+s^2)^{1/2}(1+e^s)}
=∫_{-1}^1dte^t/{(1+t^2)^{1/2}(e^t+1)}

ゆえに

a_1+a_1=∫_{-1}^1dt/{(1+t^2)^{1/2}(e^t+1)}+∫_{-1}^1dte^t/{(1+t^2)^{1/2}(e^t+1)}
2a_1=∫_{-1}^1dt(1+e^t)/{(1+t^2)^{1/2}(e^t+1)}
=∫_{-1}^1dt(1+e^t)/{(1+t^2)^{1/2}(e^t+1)}
=∫_{-1}^1dt/(1+t^2)^{1/2}=2∫_0^1dt/(1+t^2)^{1/2}

a_1=∫_0^1dt/(1+t^2)^{1/2}=[log(t+(1+t^2)^{1/2})]_0^1=log(1+√2)

a_2について

t=tanxと置換します．dt=cos^{-2}xdx

a_2=∫_{-π/4}^{-π/4}dxcos^{-2}x/(e^{tanx}+1)
=∫_{-1}^1dt/(e^t+1)=∫_{-1}^1dte^{-t}/(1+e^{-t})

t=-sと置換します．dt=-ds

a_2=∫_1^{-1}(-)dse^s/(1+e^s)=∫_{-1}^1dse^s/(1+e^s)=[log(1+e^s)]_{-1}^1
=log(1+e)-log(1+e^{-1})=log(1+e)-log{(1+e)/e}=1

(2)|x|≦π/4のとき1/√2≧cosx≧1すなわち

∴1/cosx≧1

m<nのとき

1/cos^mx≦1/cos^nx

∴1/{cos^mx(e^{tanx}+1)}≦1/{cos^nx(e^{tanx}+1)}

これは等号はx=0の時以外成立しない．よって両辺を[-π/4,π/4]で積分して，

∫_{-π/4}^{π/4}dx/{cos^mx(e^{tanx}+1)}<∫_{-π/4}^{π/4}dx/{cos^nx(e^{tanx}+1)}

すなわちa_m<a_n．

※a_1と同様にすれば

a_n=∫_0^{π/4}dx/cos^nx

が分かります．するとa_1,a_2はすぐ計算できます：

a_1=∫_0^{π/4}dx/cosx=[(1/2)log{(1+sinx)/(1-sinx)}]_0^{π/4}=log(1+√2)
a_2=∫_0^{π/4}dx/cos^2x=[tanx]_0^{π/4}=1

回答No.4

ereserve67

a_1だけ求めます．

t=tanxと置換します．cosx=(1+t^2)^{-1/2},-1≦t≦1で，dt=dx/cos^2x,dx=dt(1+t^2)^{-1}

a_1=∫_{-π/4}^{π/4}dx/{cosx(e^{tanx}+1)}
=∫_{-1}^1dt(1+t^2)^{-1}/{(1+t^2)^{-1/2}(e^t+1)}
=∫_{-1}^1dt/{(1+t^2)^{1/2}(e^t+1)}

ここでt=-sと置換します．

a_1=∫_1^{-1}(-1)ds/{(1+s^2)^{1/2}(e^{-s}+1)}
=∫_{-1}^1dse^s/{(1+s^2)^{1/2}(1+e^s)}
=∫_{-1}^1dte^t/{(1+t^2)^{1/2}(e^t+1)}

ゆえに

a_1+a_1=∫_{-1}^1dt/{(1+t^2)^{1/2}(e^t+1)}+∫_{-1}^1dte^t/{(1+t^2)^{1/2}(e^t+1)}
2a_1=∫_{-1}^1dt(1+e^t)/{(1+t^2)^{1/2}(e^t+1)}
=∫_{-1}^1dt(1+e^t)/{(1+t^2)^{1/2}(e^t+1)}
=∫_{-1}^1dt/(1+t^2)^{1/2}=2∫_0^1dt/(1+t^2)^{1/2}

a_1=∫_0^1dt/(1+t^2)^{1/2}=[log(t+(1+t^2)^{1/2})]_0^1=log(1+√2)

回答No.3

noname#163983

しまった。
1/{t(t-1)}=-(1/t+1/(1-t))でした。

回答No.2

noname#163983

＞１

1/{t(t-1)}=1/t+1/(1-t)

回答No.1

muturajcp

a_n=∫_{-π/4～π/4}(1/[{(cosx)^n}{(e^{tanx})+1}])dx

t=e^{tanx}+1
とすると
dt/dx=e^{tanx}/(cosx)^2
{(cosx)^2}(dt/dx)=t-1
[{(cosx)^2}/(t-1)](dt/dx)=1

(1/[{(cosx)^n}{(e^{tanx})+1}])
=([(cosx)^{2-n}]/{t(t-1)})(dt/dx)

a_2
=∫_{-π/4～π/4}(1/[{(cosx)^2}{(e^{tanx})+1}])dx
=∫_{1+e^{-1}～1+e}(1/{t(t-1)})dt
=[log|t|+log|t-1|]_{1+e^{-1}～1+e}
=log|1+e|+1-[log|1+e^{-1}|-1]
=3

m<nのとき
(cosx)^{n-m}≦1
1/(cosx)^m≦1/(cosx)^n
1/(e^{tanx}+1)>0
1/[{(cosx)^m}(e^{tanx}+1)]≦1/[{(cosx)^n}(e^{tanx}+1)]
だから
a_m<a_n