高校二次関数

質問

2次関数f(x)がf(a)=2,f(0)=0,f(-a)=4を満たすとき、y=f(x)のグラフの頂点のy座標の値を求めよ

この問題がわかりません

どなたか解法をお願いします

回答No.4

yyssaa

頂点が(A,B)の二次関数はf(x)=p(x-A)^2+Bと書けます。
f(a)=p(a-A)^2+B=pa^2-2paA+pA^2+B=2・・・・・(ア)
f(0)=p(-A)^2+B=pA^2+B=0・・・・・・・・・・・・・・・・(イ)
f(-a)=p(-a-A)^2+B=pa^2+2paA+pA^2+B=4・・・(ウ)
(ア)と(ウ)の3項4項をそれぞれ加えると
2pa^2+2pA^2+2B=6からpa^2+pA^2+B=3
(イ)を代入するとpa^2-B+B=3からp=3/a^2・・・(エ)
(ウ)の3項4項から(ア)の3項4項をそれぞれ引くと、
4paA=2、(エ)を代入するとA=1/(2pa)=a/6・・・(オ)
(エ)(オ)を(イ)に代入して
B=-pA^2=-(3/a^2)(a^2/36)=-1/12・・・答え

回答No.3

aries_1

何度もすみませんm(__)m
#2の訂正をします。

誤)(1)-(2)より2ta=-2⇔t=-a
正)(1)-(2)より2ta=-2⇔t=-1/a

#1の回答の方は正しく書いてあります。
何度も訂正してすみませんでしたm(__)m

回答No.2

aries_1

回答の中程で改行ミスがあったので、そこだけ訂正します(答えは変わりません)

f(a)=2よりsa^2+ta=2…(1)
f(-a)=4よりsa^2-ta=4…(2)
(1)-(2)より2ta=-2⇔t=-a

(2)と(1)-(2)がくっついていて読みにくかったかと思います。すみませんm(__)m

回答No.1

aries_1

二次関数の方程式をf(x)=sx^2+tx+uとおく

f(0)=0よりu=0
f(a)=2よりsa^2+ta=2…(1)
f(-a)=4よりsa^2-ta=4…(2)(1)－(2)より2ta=-2⇔t=-1/a(ただしa≠0)
(1)よりsa^2-1=2⇔s=3/a^2(ただしa≠0)

よって方程式はf(x)=(3/a^2)x^2-(1/a)x=(3/a^2){x^2-(a/3)x}=(3/a^2){x-(a/6)}^2-1/12

よって頂点の座標は(a/6,-1/12)
ただしa≠0

故に頂点のy座標は-1/12