途中式を教えてください。

質問

平面図形の問題です。解答に途中式がないので教えてください。

AB＝３、AD＝４である直方体ABCDーEFGHにおいて、球Sが三角柱ABCーEFGの全ての麺に内接するとき、次の問いに答えよ。
（２）球Sの中心と、頂点Fとの間の距離を求めよ。　　答え√３
（３）三角柱の３つの面ABFE、BCGF、EFGと、球Sのいずれにも接する球の半径を求めよ。　　答え２－√３

（１）でAEの長さ＝２を求めています。
可能であれば図があると嬉しいです。よろしくお願いします。

回答No.2

dprst · ベストアンサー

文章はNo.1の方が完璧に書かれているので、（2）の図を添付してみます。

１．まず平面EFG上で三角形EFGの内接円を考えて、内接円の中心TからFまでの距離が√2であることを求める
２．FTとGEの交点をYとする。（１と同じことを三角形ABCでも考えて、AC上にXを置く。）→平面BFXY上で考える

という２段構えで考えるのがポイントだと思います。

回答No.1

yyssaa

（１）でAEの長さ＝２を求めています。
△ABCの内接円の半径=△EFGの内接円の半径=1なので、
球Sの直径=2、すなわちAE=2です。
（２）球Sの中心と、頂点Fとの間の距離を求めよ。　　答え√３
∠EFGが直角で内接円の半径が1なので、△EFGの内接円の中心と
Fとの距離は√2。そこから△EFGに垂直に1だけ離れた点がSの
中心なので、求める距離は三平方の定理により
√{(√2)^2+1^2}=√3になります。
（３）三角柱の３つの面ABFE、BCGF、EFGと、球Sのいずれにも接する球の半径を求めよ。　　答え２－√３
求める球も球Sも同じ3面に接しているので、それらの中心と
頂点Fは一直線上にあります。求める球の半径をrとすると、
求める球の中心と△EFGとの距離はr。面ABFE、BCGFとの距離
もrなので、求める球の中心とFとの距離は√{(r√2)^2+r^2}
=r√3。
球SとFとの距離は、このr√3にrと1を足した長さになるので、
1+r+r√3=√3
r(1+√3)=(√3)-1
r={(√3)-1}/(1+√3)={(√3)-1}^2/(1+√3){(√3)-1}
=(3+1-2√3)/(3-1)=(4-2√3)/2=2-√3になります。