力学の問題なのですが

質問

糸の長さが無限に長い想像上の単振り子の周期を求めよ。この場合は地球が半径Rの球であることを考慮しなければならない。
この問題なのですがどうやっても答えが出せません。よろしくお願いします

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

糸の長さが無限の長さ：小球の運動が、"ｘ軸上（直線）に制限された運動"　になっているということです。
言い換えれば、
　小球の運動を決めている力は、そのｘ軸方向成分だけ
ということですね。

また、地球をＱを中心とした球とせよ、ということは、
　小球に働く重力Ｗ（＝ｍｇです）の向きが、常にＱの向きである
ということです。

以上のことから、小球に働く力Ｗの、ｘ軸方向成分Ｆxだけで、小球の運動が決まるということがわかります。
図から明らかに
　|Ｆx|＝Ｗ・sinθ＝ｍｇ・sinθ
です。

さらに、ｘは、地球中心との距離Ｌに較べてとても小さいはずですから
θはほとんど０°のはずです。そこで近似
　sinθ＝tanθ
が成り立ちます。Ｆxの向きと小球の変位ｘとの関係を考慮すると
　Ｆx＝－ｍｇ・sinθ＝－ｍｇ・tanθ
　＝－ｍｇ・(ｘ/Ｌ)
　＝－(ｍｇ/Ｌ)・ｘ
となります。これは、
　Ｆ＝－ｋ・ｘ　ｋは定数
の形式ですから、Ｆxは復元力であることがわかります。つまり、小球は単振動するわけです。
　F＝－ｋ・ｘ
の復元力を受ける、質量ｍの物体の単振動の角振動数ωは
　ω＝√(ｋ/ｍ)
ですから、周期Ｔは
　Ｔ＝2π/ω＝…
なお、これも近似となるでしょうが、Ｌは、地球半径Ｒだと見なして良いでしょうから
　Ｔ＝…