電磁気学の問題で・・・・・

質問

半径a=2mmの水滴に電荷q=4×10＾-10が与えられている。
この水滴が等しい大きさの2つの水滴に分裂し、
電荷も等量に分割された。分裂前後の水滴表面の電位を求めよ

ガウスの定理やらで証明しないといけないんですが
この問題が解けません。どなたか助けてください

回答No.1

Quarks

電位を考える際には、基準をどこに選ぶかを指定しなければなりません。本問のような場合は
　無限遠方を電位＝０の基準点
とするのが一般的でしょうね。

初めの状態は、対称性を考慮して、ガウスの法則を適用すれば良いでしょう。
水滴の外部に生じている電場は、水滴の電荷全部が水滴の中心に集中しているときに生じている電場と同じものですから、電位の計算でも、全電荷が水滴の中心に集中している状態（点電荷）の電位を計算すれば良いのです。
点電荷　4・10^(-10)[C]から　2[mm]=2・10^(-3)[m]離れた地点の電位を求めれば良いことになります。
点電荷ｑ[C]からｒ[m]離れた地点の電位Ｖは、（無限遠点を基準としたとき）
　Ｖ＝(1/(4πε0))・ｑ/ｒ
ですから、求める点（水滴の表面）での電位は
　ｑ＝4・10^(-10)[C]
　ｒ＝2・10^(-3)[m]
なので　
　Ｖ＝…[V]

次に、水滴を２つに分けた場合、各水滴の電荷ｑ'は、
　4・10^(-10)[C]
の半分ですから
　ｑ'＝…[C]
体積は元の半分ですから、半径ｒ'は元の…[倍]ですね。
　体積＝(4/3)π・ｒ^3　ですから 半径ｒ'は2・10^(-3)[m]の…[倍]で…[m]

しかし、２つの水滴がどんな位置関係にあるのか示されていないので、条件不足のため、電位を求めることはできません。
２つの水滴は互いに無限の距離に引き離されたものとするのでしょうか。そう考えて良ければ、先の計算（水滴１つの場合）と同じに、
　Ｖ'＝(1/(4πε0))・ｑ'/ｒ'
　＝…[V]