数２ 高２ 三角関数

質問

０≦θ＜２πのとき、次の方程式を解け。

(1)sin２乗θ+√3 sinθcosθ=１

(２)cos２乗θ+２cosθ－sin２乗θ+２sinθ≧０
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回答No.1

spring135 · ベストアンサー

(1)sin２乗θ+√3 sinθcosθ=１

1-sin２乗θ-√3 sinθcosθ=0

1-(sinθ)^2=(cosθ)^2を用いて

(cosθ)^2-√3 sinθcosθ=0

cosθ(cosθ-√3 sinθ)=0

故にcosθ＝0またはcosθ-√3 sinθ＝0

０≦θ＜２πの時

(1)cosθ＝0を満たすのはθ=π/2, 3π/2

(2)cosθ-√3 sinθ＝0を満たすのは

　　　tanθ=1/√3

を満たす0<α＜π/2を用いると

θ＝α, π+αが答え

(２)(cosθ)^2+２cosθ－(sinθ)^2+２sinθ≧０

(cosθ)^2－(sinθ)^2+２cosθ+２cosθ≧０

(cosθ-sinθ)(cosθ+sinθ)+2(cosθ+sinθ)≧0

(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ+2)≧0　　　(1)

cosθ-sinθ+2＝√2cos(θ+π/4)+2

-√2≦√2cos(θ+π/4)≦√2

よって

√2cos(θ+π/4)+2＞0

したがって(1)は

cosθ+sinθ≧0

ならばよい。

cosθ≧-sinθ

を満たすθは

0≦θ≦3π/4, 7π/4≦θ<2π

(グラフを書くこと)

お礼

ありがとうございました。

今日の授業でちょうど
あたったのですが
なんとかなりました。