三角関数

質問

０≦θ＜２πのとき、次の方程式を解け。

(1)sin２乗θ+√3 sinθcosθ=１

(２)cos２乗θ+２cosθ－sin２乗θ+２sinθ≧０

回答No.2

ferien

＞０≦θ＜２πのとき、次の方程式を解け。
＞(1)sin２乗θ+√3 sinθcosθ=１
（１／２）（１－cos２θ）＋（√３／２）sin２θ＝１
√３sin２θ－cos２θ＋１＝２
√３sin２θ－cos２θ＝１
合成の公式より、
２sin（２θ－π／６）＝１より、
sin（２θ－π／６）＝１／２
０≦θ＜２πのとき、－π／６≦２θ－π／６＜４π－π／６
Ａ＝２θ－π／６とおくと、－π／６≦Ａ＜４π－π／６で、範囲は単位円２周分
このとき、Ａ＝π／６，５π／６，２π＋π／６，２π＋５π／６より、
２θ－π／６＝π／６，５π／６，２π＋π／６，２π＋５π／６
よって、θ＝π／６，π／２，７π／６，３π／２

＞(２)cos２乗θ+２cosθ－sin２乗θ+２sinθ≧０
cos^2θ－sin^2θ＋２（cosθ＋sinθ）≧０
（cosθ＋sinθ）（cosθ－sinθ＋２）≧０
合成の公式より、
cosθ－sinθ＝－（sinθ－cosθ）＝－√２sin（θ－π／４）
０≦θ＜２πのとき、－π／４≦θ－π／４＜２π－π／４より、
－√２≦－√２sin（θ－π／４）≦√２
－√２＋２≦（cosθ－sinθ）＋２≦√２＋２より、
cosθ－sinθ＋２＞０だから、cosθ＋sinθ≧０
合成の公式より、√２sin（θ＋π／４）≧０より、
sin（θ＋π／４）≧０　
π／４≦θ＋π／４＜２π＋π／４より、単位円から、
０≦θ＋π／４≦πより、－π／４≦θ≦３π／４
よって、０≦θ≦３π／４，７π／４≦θ＜２π

でどうでしょうか？