【整式の除法】

質問

多項式f(x)をx^2+x+1で割るとx+2あまり、
x^2+1で割ると１あまる。
f(x)を(x^2+x+1)(x^2+1)で割った時のあまりは？

答えがないので困ってます(><)
解ける方がいらっしゃいましたら、
解説お願いします。

回答No.7

suko22 · ベストアンサー

＞係数比較したときの式の
＞1=c-d
＞が成り立たないと思うんですが

すみません。タイプミスです（汗）。

c-dと書いてあるところは全部c-bの間違いです！

だからc-b=1ですね。これでＯＫだと思います。

ご指摘ありがとうございます。間違ったまま残ってしまうところでした・・・

もう一度質問者さんも自分で手を動かして計算確認してみてくださいね！

お礼

計算してみました！

同じ結果になって安心してます

何度もありがとうございました^^*

回答No.6

mister_moonlight

この問題のbaseは虚数。係数は実数と考える。

f(x)＝(x^2+x+1)*Ａ(x)＋x+2＝(x^2+1)*Ｂ(x)＋1＝(x^2+1)*(x^2+x+1)*Ｃ(x)＋ax＾3+bx＾2+cx+d
x^2+x+1＝0を解くと　x＝ω　→　ω＾3＝1、ω＾2＋ω＋1＝0
x^2+1＝0から　x＝±i。
よって、f(i)＝f(-i)＝1.　f(ω)＝ω＋2　が成立する。
f(i)＝1　から　－ai－b+ci+d＝1　‥‥(1)、f(-i)＝1　から　ai－b-+ci+d＝1‥‥(2)
f(ω)＝ω＋2から　aω＾3＋bω＾2＋cω＋d＝a＋b(-ω-1)＋cω＋d＝ω＋2　‥‥(3)
(1)と(2)の和と差を作ると、文字は実数から　d＝1+b、a＝cだから　(3)を加えると
(a、b、c、d)＝(1、0、1、1)だから　求めるものは　x^3+x+1。

(注)
書き込みが面倒だから、いちいち書かないが
実数部＋虚数部の係数*i＝0　の場合は　実数部＝虚数部の係数＝0になる。
もちろん、ωも虚数だから同じ。

回答No.5

ereserve67

＃1です。計算ミスでした。正しくはx＾3＋x＋1。すいませんでした。

お礼

ありがとうございます♪

回答No.4

suko22

＞>※3の余りはx^2+x+1でまだ割ることが出来るので、
というのはなぜわかるのでしょうか？

この式はわかりますよね。
f(x)=(x^2+x+1)(x^2+1)Q''(x)+ax^3+bx^2+cx+d（4次式で割っているので余りは高々3次式）・・・※3

ax^3+bx^2+cx+dは3次式なのでそれよりも次数の低い2次式であるx^2+x+1でまだ割れるということです。

具体的には、
(ax^3+bx^2+cx+d)÷(x^2+x+1)＝ax+b-a・・・余り(c-d)x+d-b+a　（←整式の割り算ですね＠筆算みたいな）

これを四則演算を使って書き直すと、
ax^3+bx^2+cx+d=(x^2+x+1)(ax+b-a)+(c-d)x+d-b+a
になります。←（割られる数）＝（割る数）×（商）＋（余り）の関係ですね。

これを※3に代入すると、
f(x)=(x^2+x+1)(x^2+1)Q''(x)+(x^2+x+1)(ax+b-a)+(c-d)x+d-b+a
=(x^2+x+1){(x^2+1)Q''(x)+(ax+b-a)}+(c-d)x+d-b+a・・・※4
もう少しこの式の意味を補足すると、※4式の{ }内を新たにQ'''(x)と置くと、
=(x^2+x+1)Q'''(x)+(c-d)x+d-b+aとなるということです。
→f(x)はx^2+x+1で割ると商がQ'''(x)で余りが(c-d)x+d-b+aとなるという意味です。

それで、これは※1と同じなので、余り同士を比べていくという考え方です。

いかがでしょう？

もしわからないところがあればまた補足を入れてください。

お礼

理解できました!

納得です！！
ありがとうございました^^*

補足

お礼のあとにすいません。

a=c=d=1だったら、
係数比較したときの式の
1=c-d
が成り立たないと思うんですが
どうでしょうか(><)

回答No.3

suko22

f(x)は題意より以下の通り表せます。

f(x)=(x^2+x+1)Q(x)+x+2・・・※1
f(x)=(x^2+1)Q'(x)+1・・・※2
f(x)=(x^2+x+1)(x^2+1)Q''(x)+ax^3+bx^2+cx+d（4次式で割っているので余りは高々3次式）・・・※3

※3の余りはx^2+x+1でまだ割ることが出来るので、さらに変形すると、
f(x)=(x^2+x+1)(x^2+1)Q''(x)+(x^2+x+1)(ax+b-a)+(c-d)x+d-b+a
=(x^2+x+1){(x^2+1)Q''(x)+(ax+b-a)}+(c-d)x+d-b+a・・・※4

※1と※4の余りを比較すると
1=c-d,2=d-b+a・・・※6

また※3の余りはx^2+1でまだ割ることが出来るので、さらに変形すると、
f(x)=(x^2+x+1)(x^2+1)Q''(x)+(x^2+1)(ax+b)+(c-a)x+d-b
=(x^2+1){(x^2+x+1)Q''(x)+ax+b}+(c-a)x+d-b・・・※5

※2と※5の余りの比較から、
c-a=0,d-b=1・・・※7

※6と※7の連立方程式を解くと、
a=c=d=1,b=0

よって求める余りは、x^3+x+1・・・答え

補足

>※3の余りはx^2+x+1でまだ割ることが出来るので、

というのはなぜわかるのでしょうか？

初歩的な質問ですよね…
できたらお答えお願いしたいです(><)

回答No.2

Tofu-Yo

f(x)をx^2+x+1で割った商をさらにx^2+1で割ったときの商をQ(x)、余りをax+bとおくと、
f(x)をx^2+x+1で割った商が(x^2+1)Q(x)+ax+bとなりますから、
題意からf(x)=(x^2+x+1){(x^2+1)Q(x)+ax+b}+x+2が成り立ちます。
整理するとf(x)=(x^2+x+1)(x^2+1)Q(x)+(ax+b)(x^2+x+1)+x+2…(A)

f(x)を(x^2+x+1)(x^2+1)で割ったとき、余りは高々3次式ですから、商と余りの一意性からこのときの商はQ(x)、余りは(ax+b)(x^2+x+1)+x+2にほかなりません。したがってa、bを求めればよいことになります。

一方x^2+1で割ると１あまるので、x^2+1の解i,-iはf(i)=f(-i)=1を満たします。
i^2+1=0に留意して(A)にx=iを代入すると、
f(i)=(ai+b)i+i+2=-a+bi+i+2=-(a-2)+(b+1)i
∴-(a-2)+(b+1)i=1
∴a=1,b=-1（←左右辺の虚部どうし実部どうしが同じなので）
（f(-i)=1の方は結果的に使わない）

∴求める余りは、(x-1)(x^2+x+1)+x+2=x^3-1+x+2=x^3+x+1

計算ミスっていたらごめんなさい(^_^;)

回答No.1

ereserve67

f(x)=Q_1(x)(x^2+x+1)+x+2=Q_2(x)(x^2+1)+1

とおけます．Q_i(x)(i=1,2)は多項式．ここでx^2+x+1=0の解ω,ω^2とx^2+1=0の解±iを把握しておきます．

f(x)=Q(x)(x^2+x+1)(x^2+1)+ax^3+b^2+cx+d

とおけるので，この式にx=ω,ω^2,±iを代入するとa,b,c,dに関する連立方程式ができます．それをω^3=1,ω^2+ω+1=0に注意して解くと(ω=(-1+√3i)/2にも注意)ax^3+b^2+cx+dは

x^3/√3+x/√3+1

となると思います．（朝のあわただしい時に解いたので要検算）