数学

質問

整数を係数とする多項式が有理数を係数とする多項式の積に因数分解できるなら、整数を係数とする多項式の積に因数分解できる

というのが分からないのですが、なんでですか？証明お願いします。

回答No.4

ramayana

整係数多項式環は、素元分解環だけど、ユークリッド環でないのでは？
もっとも、#3の2行目以下は、正しいと思います。

回答No.3

alice_44

整係数多項式環がユークリッド環だということに尽きる。

整係数多項式 f(x) が、有理係数多項式の積に分解できたとする。
各因子の係数を通分して、分母を括り出せば、
f(x) = 整係数多項式の積÷整数 と分解できたことになる。
分母を払って、f(x)・整数 = 整係数多項式の積 とし、
両辺の素元分解を考えると、右辺に含まれる定数因子は、
左辺の定数因子と一致していなければならない。
よって、f(x) = 整係数多項式の積÷整数 の右辺は約分できて、
f(x) = 整係数多項式の積 と書ける。

回答No.2

ramayana

次の命題１を証明します。

命題１　Zを整数全体とし、Qを有理数全体とする。Z[X]、Q[X]を、それぞれZ又はQを係数とする変数Xの多項式全体とする。もし、f(X) ∈Z[X]、g(X) ∈Z[X]、h(X) ∈Q[X]なる3つの多項式があって、

（１）　f(X) = g(X)h(X)
（２）　g(X)の係数全体の最大公約数が1

ならば、h(X) ∈Z[X]である。

[証明]

仮にh(X)の係数に整数でないものがあったとして、矛盾を導くことにする。

（記号の設定）

g(X)とh(X)を次のように表す：

g(X) = u(0 )+ u(1)X + ・・・+ u(m)X^m
h(X) = (1/w)(v(0 )+ v(1)X + ・・・+ v(n)X^n)

ここで、mとnは、それぞれg(X)とh(X)の次数である。u(0 )、u(1)、・・・、u(m)、v(0 )、v(1)、・・・、v(n)は、整数である。wは、「h(X)の係数に整数でないものがある」という前提により、1以外の正の整数である。かつ、次の条件を満たすものとする：

（３）　v(0 )、v(1)、・・・、v(n)の最大公約数は、wと共通因子を持たない。

さらに、f(X)を次のように表す：

f(X) = a(0 )+ a(1)X + ・・・+ a(m+n)X^(m+n)

ここで、a(0 )、a(1)、・・・、a(m+n)は、整数である。

(矛盾を導く）

wの約数となる素数を1つ選んで、それをpとする。（２）により、u(0 )、u(1)、・・・、u(m)の中にはpで割り切れないものが必ず存在する。また、（３）により、v(0 )、v(1)、・・・、v(n)の中にもpで割り切れないものが存在する。それぞれ、pで割り切れない最小の添字を持つものをu(μ)、v(ν)とする。

このとき、

a(μ+ν) = (1/w)(u(ν)v(μ) + Σ[i = 1 to μ-1]u(μ-i)v(ν+i) +Σ[i = 1 to ν-1]u(μ+i)v(ν-i) )

となる（便宜上、j<0 or j>mのときu(j)=0と置き、j<0 or j>nのときv(j)=0と置く）。設定によりi≧1のときu(μ-i) 及びv(ν-i)はpで割り切れるから、上式の右辺括弧内の第2項と第3項はpで割り切れる。しかし、第1項は、pで割り切れない。したがって、括弧全体はpで割り切れない。一方wはpで割り切れるのだから、a(μ+ν)は整数でないことが分かる。すなわち、f(X)の係数に整数でないものが存在することになり、矛盾を生ずる。この矛盾は、「h(X)の係数に整数でないものがある」という前提から生じたものであるから、h∈Z[X]でなければならない

回答No.1

misumiss

対偶を証明してみては？
Z[x] の既約多項式は, Q[x] の元としても既約多項式である, ってことをいうだけです。