数学・微分の問題です。

質問

三つの放物線 C1：y=x^2-2x, C2：y=k{x^2-(2-a)x+b},C3：y=x^2+（5/2）x がある。

ただし,k,a,bは定数で,k>0,a<0とする。

放物線C1とx軸の交点のうち原点以外の点をAとすると,A(?,0)であり,点AにおけるC1の接線lの方程式はy=?x-?である。

放物線C2が点Aを通るとき,b=?aであり,さらにC2とx軸とで囲まれた図形の面積がk/6のとき,a=?.a=? である。ただし,?<?とする。

b=?a,a=?とする。点AにおけるC2の接戦がｌと一致するとき,k=?であり,C2とC3の交点のx座標は?/?, ? である。

0≦x≦? の範囲で,三つの放物線C1,C2,C3で囲まれた図形の面積は?/? である。

問題文中の ? は空欄で、そこの値を求めてください！

回答No.1

ferien

＞三つの放物線 C1：y=x^2-2x, C2：y=k{x^2-(2-a)x+b},C3：y=x^2+（5/2）x がある。
＞ただし,k,a,bは定数で,k>0,a<0とする。

＞放物線C1とx軸の交点のうち原点以外の点をAとすると,A(?,0)であり,
＞点AにおけるC1の接線lの方程式はy=?x-?である。
ｙ＝ｘ^2－２ｘ＝ｘ（ｘ－２）　ｙ＝０とおくと、ｘ＝０，２より、Ａ（２，０）
ｙ'＝２ｘ－２＝２（ｘ－１）だから、接線の傾き＝２・（２－１）＝２
接線lの方程式は、ｙ＝２（ｘ－２）より、ｙ＝２ｘ－４

＞放物線C2が点Aを通るとき,b=?aであり,さらにC2とx軸とで囲まれた図形の面積がk/6のと
＞き,a=?.a=? である。ただし,?<?とする。
Ａの座標をＣ2の式に代入して、０＝ｋ｛４－（２－ａ）・２＋ｂ｝
ｋ＞０より、２ａ＋ｂ＝０　よって、ｂ＝－２ａ

ｘ軸とＣ2との交点のｘ座標を、ｘ＝ｐ，ｑ（ｐ＜ｑ）とする。
ｐ，ｑは、ｋ｛ｘ^2－（２－ａ）ｘ－２ａ｝＝０……（＊）の解だから、解と係数の関係より、
ｐ＋ｑ＝２－ａ，ｐｑ＝－２ａ　……（１）
C2とx軸とで囲まれた図形の面積をＳ1とすると、ｋ＞０より、Ｃ2は下に凸な関数だから、
Ｓ1＝∫［ｐ～ｑ］｛０－Ｃ2｝ｄｘ
＝∫［ｐ～ｑ］［－ｋ｛ｘ^2－（２－ａ）ｘ－２ａ｝］ｄｘ
＝－ｋ［(1/3)ｘ^3－(1/2)（２－ａ）ｘ^2－２ａｘ］［ｐ～ｑ］
＝－ｋ｛(1/3)（ｑ^3－ｐ^3）－(1/2)（ｑ^2－ｐ^2）－２ａ（ｑ－ｐ）｝
＝（－ｋ／６）・（ｑ－ｐ）・｛２（ｑ^2＋ｐｑ＋ｐ^2）－３（ｐ＋ｑ）－１２ａ｝
＝ｋ／６
だから、ｋ／６＞０より、両辺をこれで割ると
－（ｑ－ｐ）・｛２（ｑ^2＋ｐｑ＋ｐ^2）－３（ｐ＋ｑ）－１２ａ｝＝１……（２）
（１）より、
ｑ^2＋ｐｑ＋ｐ^2＝（ｐ＋ｑ）^2－ｐｑ
＝（２－ａ）^2－（－２ａ）
＝４－２ａ＋ａ^2
（ｑ－ｐ）^2＝（ｐ＋ｑ）^2－４ｐｑ
＝（２－ａ）^2－４×（－２ａ）
＝（ａ＋２）^2
これらを（２）へ代入して
－（ｑ－ｐ）・｛２（４－２ａ＋ａ^2）－３（２－ａ）^2－１２ａ｝
＝－（ｑ－ｐ）・｛－（ａ＋２）^2｝
＝（ｑ－ｐ）・（ａ＋２）^2
＝１より、
（ｑ－ｐ）^2・（ａ＋２）^4＝（ａ＋２）^2・（ａ＋２）^4＝１だから、
（ａ＋２）^6＝１から、（ａ＋２）^2＝１
よって、ａ＋２＝±１より、ａ＝－１，－３（ａ＜０を満たす）

（＊）について、異なる２解をもつから、
判別式Ｄ＝ｋ^2（２－ａ）^2－４×ｋ×（－２ａｋ）＝ｋ^2（ａ＋２）^2＞０
ｋ^2＞０より、（ａ＋２）^2＞０だから、ａ＋２≠０…（３）
（ｑ－ｐ）^2＝（ａ＋２）^2より、
｛（ｑ－ｐ）＋（ａ＋２）｝｛（ｑ－ｐ）－（ａ＋２）｝＝０
ｑ－ｐ＞０と（３）より、
（ｑ－ｐ）＋（ａ＋２）≠０だから、（ｑ－ｐ）－（ａ＋２）＝０
よって、ｑ－ｐ＝ａ＋２＞０より、－２＜ａ

＞b=?a,a=?とする。点AにおけるC2の接戦がｌと一致するとき,k=?であり,C2とC3の交点のx座標
＞は?/?, ? である。
ｂ＝－２ａ，ａ＝－１のとき、（－２＜ａだから）
Ｃ2：ｙ＝ｋ（ｘ^2－３ｘ＋２）

点AにおけるC2の接線は、
ｙ'＝２ｋｘ－３ｋより、接線の傾き＝４ｋ－３ｋ＝ｋ
ｙ＝ｋ（ｘ－２）より、ｙ＝ｋｘ－２ｋ
これがｌ：ｙ＝２ｘ－４と一致するから、係数を比較して、ｋ＝２（ｋ＞０を満たす）

これから、Ｃ2：ｙ＝２ｘ^2－６ｘ＋４
C2とC3の交点のx座標は、Ｃ3：ｙ＝ｘ^2＋(5/2)ｘより、
２ｘ^2－６ｘ＋４＝ｘ^2＋(5/2)ｘとおいて整理すると、
２ｘ^2－１７ｘ＋８＝０
（２ｘ－１）（ｘ－８）＝０　　よって、ｘ＝１／２，８

＞0≦x≦? の範囲で,三つの放物線C1,C2,C3で囲まれた図形の面積は?/? である。
C1とＣ2の交点のｘ座標は、
２ｘ^2－６ｘ＋４＝ｘ^2－２ｘより、
ｘ^2－４ｘ＋４＝（ｘ－２）^2＝０から、ｘ＝２

グラフを描いてみると分かりますが、
積分範囲は、０≦ｘ≦２
０≦ｘ≦1/2のとき、Ｃ3－Ｃ1を積分
1/2≦ｘ≦２のとき、Ｃ2－Ｃ1を積分
放物線C1,C2,C3で囲まれた図形の面積をＳ2とすると、
Ｓ2＝∫［０～1/2］｛ｘ^2＋(5/2)ｘ－｛ｘ^2－２ｘ）｝ｄｘ
　　　　＋∫［1/2～２］｛２ｘ^2－６ｘ＋４－（ｘ^2－２ｘ）｝ｄｘ
＝∫「０～1/2］(9/2)ｘｄｘ＋∫［1/2～２］（ｘ－２）^2ｄｘ
＝(9/2)［(1/2)ｘ^2］「０～1/2］＋［(1/3)（ｘ－２）^3］［1/2～２］
＝２７／１６

のようになりました。計算を確認してみて下さい。（答えは、問題文に合うように拾って下さい。）