交点の位置ベクトル

質問

△ABCの内部に点Pをとり、頂点A,B,CとPを結んでできる直線と各辺との交点D,E,Fをとする。
BA→=x→,BC→=y→とおき、ＢＦ→=(11/7)x→,
ＢＤ→=(3/7)y→とする。

(1)BE：BP、AE：ECを求めよ
この解き方を教えてください。

回答No.6

ferien

ANo.3です。　ベクトルを使う解き方です。

＞ＢＦ→=(7/11)x→,
とします。

ＡＰ：ＰＤ＝ｓ：１－ｓとすると、
ＢＰ＝（１－ｓ）ＢＡ＋ｓＢＤ＝（１－ｓ）ｘ＋ｓ・(3/7)ｙ
ＦＰ：ＰＣ＝ｔ：１－ｔとすると、
ＢＰ＝（１－ｔ）ＢＦ＋ｔＢＣ＝（１－ｔ）(7/11)・ｘ＋ｔ・ｙ
係数を比較すると、
１－ｓ＝(7/11)（１－ｔ），(3/7)ｓ＝ｔ
連立で解いて、ｓ＝１／２，ｔ＝３／１４
よって、ＢＰ＝(1/2)ｘ＋(3/14)ｙ

ＡＥ：ＥＣ＝ｕ：１－ｕとすると、
ＢＥ＝（１－ｕ）ｘ＋ｕｙ
Ｂ，Ｐ，Ｅは一直線上にあるから、
ＢＥ＝ｋＢＰ＝(1/2)ｋ・ｘ＋(3/14)ｋ・ｙ
係数を比較して、
１－ｕ＝(1/2)ｋ，ｕ＝(3/14)ｋ
連立で解いて、ｋ＝７／５，ｕ＝３／１０
よって、ＢＥ＝(7/5)ＢＰより、ＢＥ：ＢＰ＝７：５
ＡＥ：ＥＣ＝（3/10）：（7/10）＝３：７

解き方はいろいろあります。計算を確認してみて下さい。

お礼

2パターンの解き方ありがとうございます。

回答No.5

suko22

＃４です。訂正です。

＞ＢＡ→＝（1-ｔ）*7/11ＢＡ→+ｔＢＣ→・・・※1

誤）ＢＡ→＝

正）ＢＰ→＝

すみません。訂正お願いします。
あと何箇所か打ち間違いがあるかもしれません。疑問に思ったら補足してください。

回答No.4

suko22

始点をＢとしてすべてこの点からのベクトルで表す。

△ＢＣＦに注目。
ＦＰ：ＰＣ＝ｔ：1-ｔとおくと内分の公式より
ＢＰ→＝（1-ｔ）ＢＦ→+ｔＢＣ→
今、ＢＦ→＝7/11ＢＡ→だから、これに置き換えて、
ＢＡ→＝（1-ｔ）*7/11ＢＡ→+ｔＢＣ→・・・※1

△ＢＡＤに注目。
ＣＰ：ＰＡ＝ｓ：1-ｓとおくと内分の公式より
ＢＰ→＝ｓＢＡ→+（1-ｓ）ＢＤ→
今、ＢＤ→＝3/7ＢＣ→だから、これを代入して、
ＢＰ→＝ｓＢＡ→+（1-ｓ）*3/7ＢＣ→・・・※2

ＢＡ→とＢＣは一次独立だから、（要は係数比較できるということです）

※1と※2より、
7/11*（1-ｔ）＝ｓ、ｔ＝3/7*（1-ｓ）
連立方程式を解くと、ｓ＝1/2、ｔ＝3/14

ｓ＝1/2を※2に代入すると、
ＢＰ→＝1/2ＢＡ→+3/14ＢＣ→

点Ｂ，Ｐ，Ｅは一直線上にあるから、

ＢＥ→＝ｍＢＰ→　と掛ける。

　　　＝ｍ（1/2ＢＡ→+3/14ＢＣ→）
　　　＝1/2ｍＢＡ→+3/14ｍＢＣ→・・・※3

△ＢＡＣに注目。
点Ｅは線分ＡＣ上の点であるから、※3の係数の間には
3/7ｍ+16/49ｍ＝1
という関係が成り立つ。
これを解くと、ｍ＝7/5

よって、ＢＥ→＝7/5ＢＰ→となるから、ＢＥ：ＢＰ＝7：5・・・答え

また、ＢＥ→＝1/2*7/5ＢＡ→+3/14*7/5ＢＣ→
　　　　　　＝7/10ＢＡ→+3/10ＢＣ→
　　　　　　＝（7ＢＡ→+3ＢＣ→）/10

これは△ＢＡＣにおけて、ＢＥ→は線分ＢＣを内分する公式を表しているから
ＡＥ：ＥＣ＝3：7・・・答え

Ｐ．Ｓ．
＞、ＢＦ→=(11/7)x→
これ、11/7でなく、7/11ですね。

あとＢＡ→＝ｘ→、ＢＣ→＝ｙ→は置き換えると位置ベクトルの始点がわかりにくくなるので、ここではあえて置き換えませんでした。

内分の公式とその使い方をしっかり確認しましょう。
位置ベクトルの始点をＢとし、
最初のＢＰ→を2つの三角形に注目し2通りの方法で表すことがポイント。
あとは内分の公式、平行の条件などがわかっていればなんとか理解できると思います。
頑張ってください。

回答No.3

ferien

＞△ABCの内部に点Pをとり、頂点A,B,CとPを結んでできる直線と各辺との交点D,E,Fをとする。
＞BA→=x→,BC→=y→とおき、ＢＦ→=(11/7)x→,
＞ＢＤ→=(3/7)y→とする。
ＢＦ→=(7/11)x→,とします。

＞(1)BE：BP、AE：ECを求めよ
メネラウスの定理より、
（ＡＦ／ＦＢ）（ＢＣ／ＣＤ）（ＤＰ／ＰＡ）＝１から、
（４／７）（７／４）（ＤＰ／ＰＡ）＝１
ＤＰ：ＰＡ＝１：１
同じく
（ＡＥ／ＥＣ）（ＣＢ／ＢＤ）（ＤＰ/ＰＡ）＝１から
（ＡＥ／ＥＣ）（７／３）（１／１）＝１
よって、ＡＥ：ＥＣ＝３：７
同じく
（ＢＤ／ＤＣ）（ＣＡ／ＡＥ）（ＥＰ／ＰＢ）＝１から、
（３／４）（１０／３）（ＥＰ／ＰＢ）＝１
ＥＰ：ＰＢ＝２：５だから、
よって、ＢＥ：ＢＰ＝７：５

図を描いて確認して下さい。
（問題が違っていたら、教えて下さい。）

回答No.1

f272

「△ABCの内部に点Pをとり」であるなら，Fも線分BA上にあり，ＢＦ=(11/7)BAにはならない？？