合同な三角形(分からなさの分析)

質問

二辺夾角が同じ二つの三角形があった時、「二つの三角形は合同だ」と証明するのは簡単です。
しかし、とそこで思うのですが、

・三角形の残りの一要素(残る一辺の長さ)を検分していないのに、その長さが等しいと断言できるのか?

という根源的な疑問の解消にはならない気がするのですが、この思考は誤っているでしょうか？

これに対する適切な解答は、次のようであるべきかと思うのですが…

(1)２つの三角形の構成要素を重ねたとき、残りは一つの辺である。一つの辺は、三角形の２つの頂点を結んで作られる。２点の最短距離を通る線分は１つしかないから、残る一辺の長さも等しい。

(2)余弦定理より、残りの辺の長さは等しい(この時、余弦定理証明に必要な三平方の定理の証明に、三角形の合同条件を使用しないこと)

どこを疑問と思うか、という辺りは人によって異なるので、万能の解決方法というのは難しいと思いますが、よろしくお願いいたします。

回答No.6

eclipse2maven · ベストアンサー

もともと、こういうのは、現実問題があって、考えられたと思います。

大きな石の三角形ががあって、それを組み合わせないといけない。形が同じとは、正確な定義は、重ね合わせられるということです。奴隷をたくさん使って、重ね合わせなければいけないところ、大勢死人が出るかも。。。

でも、誰かが、3辺の長さを図ることを思いつきました。これが一致したら、わざわざ運ばなくても、一致していることがわかる。大発見ですよね。

こういうのは経験則から導かれたと思います。おそらく次は理由を考えるでしょう。

3辺があれば、三角形は一つ決まる！　そもそも三角形って何？　でも3辺で一つ決まる。　他の場合もそうですよね。それで三角形が一つ決まるわけです。　ミステリーで言えば、DNA鑑定で、犯人が特定できる。

じゃあ　DNA鑑定で特定できることをどうやって示すか？　もっと自明の内容から説明がつけば、もっともらしい。

だから論理体系がある。　実際はユーックリド原論から出すのは難しい、いろいろ不備もある。だけど、演繹ということを始めて言ったのがユークリッド幾何なので、そのために使われる。再公理化はヘルマン・ワイルによって、多様体の定義を与えるときに、ベクトル空間として整理されたので、そちらを使った方が論理的にはすっきりします。（「空間・時間・物質」ワイル著）

だけど、論理的に言えたことが＝真理　これも　わかんない。　ただ、論理的に言おうとすれば、ユークリッド幾何ではトートロジ（循環論法）に陥ったり、どこか不備がでたり、曖昧さが出るので、大学で線形代数をきちんとやったら、すっきり言えます。

でも、一番簡単なのは　3辺が等しいと　三角形は重なるのは、　三角形は3辺の情報があれば、あとの情報がなくてもそれで決まっている、言い換えれば、3辺の情報で他の三角形の情報はすべて決まっているからだ　というのが、本質のような。

回答No.8

178-tall

>二辺夾角が同じ二つの三角形があった時、「二つの三角形は合同だ」と証明するのは簡単です。 しかし、とそこで思うのですが、
>・三角形の残りの一要素(残る一辺の長さ)を検分していないのに、その長さが等しいと断言できるのか?

二辺と夾角が合っても、残る一辺の同異が不明、ということ？

これは、二点を結ぶ直線は一意的、というのがユークリッドの割り切り方。
ここで、非ユークリッドのほうへ迷い込むと、あとは場外乱闘のみ。

回答No.7

stomachman

「理屈はどうあれ感覚として分からん」とヌカす、思考と感覚が水と油に分離している人はしばしばいるもんで、それはきっと、理屈と感覚が一致した時のカイカンを経験したことのない、可哀想な人なんだろうと思います。そういう人にいくら理屈を注ぎ込んでも何にもならない。やればやるほどイコジになったりイジケたり、とうとう開き直ったりしますし。

　そこで、長さが異なる棒の端っこ同士をパンツのゴムで繋ぎ、他の端っこ同士をヒンジで繋いだものを製作する。なるべく巨大で、重たいのが良いでしょう。わからんと言ってる方を拉致して、暴れないように足枷をはめてから、この装置を持たせる。拒否したら適度な電撃(1～2万ボルト程度)を喰らわせましょう。そして、牢獄の壁に描かれた所定の長さの線分とパンツのゴムの長さが合うようにに、ヒンジの角度を調節させるんです。いろんな長さの線分でやらせます。何遍でもやらせます。
　そうすりゃ、ヒンジの角度とゴムの長さがキッチリ対応していて、別の角度で同じ長さを作ることはできないのが体感されるであろう。

という方法はいかがでしょ。え？今度は二角挟辺が分からん、って？

回答No.5

178-tall

>実際に頭の中で試してみれば、確かにぴったり重なり合いますが その場合、「では、なぜぴったり重なり合うのか」という点が論点になると思います。

ユークリッド氏は、自前の「公理」から「定理」を作り証明。
他方で、「二辺夾角」定理に近い「公理」を考えたかたもおられるようですけど、その委細を調べる気にもならず。

確かに、「万能の解決方法というのは難しい」。

回答No.4

aries_1

余弦定理の公式は、△abcにおいて∠abc=Θとすると、
ca^2=ab^2+bc^2-2*ab*bc*cosΘ

ある二つの三角形が二辺挟角相等のとき、上式のab,bcに相当する長さが等しく、かつΘが等しいので、残り一つの辺も等しくなることは自明です。

ただ、合同を習う中学校の教育カリキュラムに余弦定理は含まれていません。
よって、余弦定理を用いて中学生に証明させるのは不可能ですので、理由を伏せて、とりあえず結果だけを無証明で使うことを許しているのではないでしょうか。

高校でも、整式の恒等式等、無証明で使うことを許しているものは沢山あります。

ついでに、(1)の証明方法では、三辺相等を示していますので、二辺挟角相等で証明したことにはならないです。

回答No.3

alice_44

難しかったですか？
理解できる人にとっては、
明快な話なんですが。

補足

明快なので、これまた困ってます。
つまり、自分にとっては明快であり、かつ、分からないと主張する人間がいる、とご想定ください。

回答No.2

178-tall

二つの図形が「合同」とは、「ピッタリ重ね合わすことができる」ことだと、単純に割り切ればどうでしょうか？
透明な紙面に描いて重ね合わせるのではなく、頭脳の中での操作で、というハナシなのが、雑念を招く元なのかもしれません。

二辺夾角が同じ二つの三角形の場合は、頭脳の中でなら、二辺夾角がピッタリ重ね合わさったったとたん、残りの一辺も自ずからピッタリ重なり合う、のがふつうなのでしょう。

補足

実際に頭の中で試してみれば、確かにぴったり重なり合いますが
その場合、「では、なぜぴったり重なり合うのか」という点が論点になると思います。

合同→ぴったり重なる　であっても、
ぴったり重なる→合同　であると言い切れるのか?
まぁ、ここを問うと、公理系に戻って、そこから証明できます。

回答No.1

alice_44

解決方法は人によって異なるのでしょうが、私にとっての解決は、
(0) 二辺夾角が等しい三角形の第三辺も等しいことは、初等幾何的に証明できる
ということです。三角形の合同の定義は、三辺相等です。
二辺夾角相等が合同条件のひとつであるというのは、(0)が証明済みだということ。
具体的な証明は、「原論」にも載っているし、中学校の教科書にも出ていますよ。

補足

三辺相等から二辺夾角相等が導かれる、という前提は必ずしも必須ではないですし、そうすべきではきない、という議論も見かけたことがあります。
そして、合同という定義の同一性をもってしか、具体的な証明ができないのは、少し拙かろうという「なんとなくの直感」から発問したところがあります。

とはいえ、alice_44さんのおっしゃることは全くもってそれはその通りで、中学校の教科書に書かれている解説です。
このあたりは「気持ちの悪さの解消」「明快さ」を求めようとしている、感性的な質問ですので、どうぞお気を悪くなさらずお願いいたします。