オイラーの公式しかないのでしょうか。

質問

数学の空間図形の問題に頭を悩ませています。
三辺の長さが与えられている合同四面体の体積を求めた
いのですが、余弦定理を何回も使って地道にとくしかな
いのでしょうか？似た質問を検索してみたのですが、オ
イラーの公式が紹介されていたのですが、それ以外にな
んかこう考えたら、解けるよ、とご存知の方、宜しくお
願いします。例えば三辺が４ｃｍ、５ｃｍ、√１０ｃｍ
で定義される合同四面体ではどうなりますでしょうか？
（未熟者なので、この条件で合同四面体が成立するのかどうかもわかりません）宜しくお願いします。

回答No.1

banakona · ベストアンサー

私の回答で恐縮なのですが、添付ＵＲＬの＃２で使っている方法では、余弦定理どころか三角関数すら不要です。もちろん、２等辺三角形でなくても解けます。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5053925.html

お礼

お礼が遅くなり、申し訳ありません。
あれから、いろいろ考えてみて、ようやく、意図しているところが
わかりました！なんだか、頭がスッキリして、目から鱗が落ちたよ
うな気分です。これから、これでいこうと思います。 本当にあり
がとうございました！

回答No.2

Tacosan

最終的にオイラーの公式に戻りますが, 次のような考え方もあります:
直交する 3辺の長さがそれぞれ x, y, z であるような直方体を考えます. この直方体の頂点を 1つおきに 4個, 各面の対角線まで削っていきます. すると, 最終的に残った立体は 3辺の長さがそれぞれ √(x^2+y^2), √(y^2+z^2), √(z^2+x^2) であるような 4つの三角形からなる四面体であり, その体積 V は
・元の直方体の体積が xyz
・削った部分の体積は頂点 1つあたり xyz/6
なので V = xyz - 4×xyz/6 = xyz/3 となります.
従って, 3辺の長さがそれぞれ a, b, c であるような 4つの三角形からなる四面体の体積を求めたければ
x^2+y^2 = a^2, y^2+z^2 = b^2, z^2+x^2 = c^2
から x, y, z を見付れば V = xyz/3 で計算できます. 最終的に
72V^2 = (a^2+b^x-c^2) (b^2+c^2-a^2) (c^2+a^2-b^2)
です. これも使うのは三平方の定理のみ.