線形代数の固有ベクトルに関する質問です。

質問

3×3行列A=（0,1,1)(2,1,-1)(2,0,0)について考えます。
固有値は-2,1,2となり、固有ベクトルを考えるためにまず-2について考えました。
固有値-2のとき
(-2 -1 -1)(-2 -3 1)(-2 0 -2)
となるので
c1(-2 -2 -2)+c2(-1 -3 0)+c3(-1 1 -2)=0を解くと
-c1-c2-c3=0
-2c1-3c2+c3=0
-2c1-2c3=0
の関係式から　c1=-c3 c2=c3 c1=-c2　となり　固有ベクトルはC(1 -1 -1)となりました。
ここで疑問に思ったのですが、固有ベクトルをあらわす時に今回はc1を基準として1にしていますが、c2を基準にしたらC（-1 1 1）となり、固有ベクトル自体が変わってしまうと思うんです。
どういうことなんでしょうか、なにか勘違いしている点などあれば教えてください。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

（-1 1 1） = -(1 -1 -1) です。
固有値 -2 に対する固有ベクトルは、
（-1 1 1） でも、
-(1 -1 -1) でも、
3(1 -1 -1) でも、構いません。
連立一次方程式が不定解を持つとは、どういうことか、
そこをよく考え直してから、もういちど
c1(-2 -2 -2) + c2(-1 -3 0) + c3(-1 1 -2) = 0 を
解いてみてください。

お礼

わかりました、不定解は比率が同じなら同じということですよね。
もうひとつ疑問におもったんですが、他の固有値が1,2なので固有ベクトルが-2のときはc(1 -1 -1) 1のときはc(1 -1 2) 2のときはc(1 1 1)となりました。
そこで対角化するための行列Pは(1 1 1)(-1 -1 1)(-1 2 1)となります。
ここで-2のときの固有ベクトルがc(-1 1 1)で出していた場合、Pが(-1 1 1)(1 -1 1)(1 2 1)となってかわってしまいます。
実際に対角化してみたところ、片方は対角化できませんでした。
なぜなんでしょうか、続けて質問して申し訳ありませんが解答よろしくお願いいたします。

回答No.2

Tacosan

どこかで計算を間違えたから, では?

お礼

計算ミスだったようです。
固有ベクトルが正しければどの形でも対角化できるんですね。
計算ミスでお騒がせしてすみませんでした。