固有値、固有ベクトルについて

質問

ある3×3行列をＡとして、この固有値がλ1,λ2,λ3であり、対応する固有ベクトルがそれぞれr1,r2,r3となるとき、Ａ^2の固有値がλ1^2，λ2^2，λ3^2となるのがなぜだかわかりません。Ａが具体的な数を含む行列であれば計算できるのですが…。初歩的なことで誠に恐縮ですが、ぜひ教えていただきたいです。

回答No.3

kentarou2333 · ベストアンサー

固有ベクトルの定義を改めて考えてみてください。

行列 A に対して、単なる定数倍になってしまうベクトルですよね。
その倍数が、λn ですよね。

つまり、A・r1 = λ1・r1 ですよね。

それでは、A・A・r1 は、どうなるでしょうか？

λ1^2・r1 になりますよね。

この辺をもうちょっと証明っぽく書いてもいいんでしょうけど、イメージ的にはこんな感じかと思います。

お礼

ありがとうございます。
行列Aと固有値λと固有ベクトルrの本質が理解できていなかったことを痛感しました。
Ar＝λrとおけるから、両辺の左側よりAをかけ、AAr＝Aλr…(1)となる。ここでλは定数であるから、(1)の右辺をλArと書き換えられる…(1)'。また、固有値の定義よりλ・Ar＝λ・λr…(2)
(1)，(1)'，(2)よりA^2r＝λ^2rとなる
これをベースに証明を記述すればよいでしょうか?
もっとよく勉強します。

回答No.2

ryn

A^2 を r1,r2,r3 にかけてみてください．

回答No.1

okyum

フロベニウスの定理を検索してみてください。