高校数学：相加相乗平均の問題についてです．

質問

a>0，b>0のとき，

a+b+1/a+1/b≧4

が成り立つことを証明せよという問題なのですが，よくわからないので，どなたか解説お願いします．

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

方法は4つ考えられる。

(1)
4項の相加平均・相乗平均を考える。一発でおわり。

(2)
a+b+1/a+1/b＝(a＋/a)＋(b＋/b)として、a＋1/a　と　b＋1/b　の各々の相加平均・相乗平均を作り、それらを足す。

(3)
a+b+1/a+1/b＝(a＋1/b)＋(b＋1/a)として、a＋1/b≧2√(a/b)、b＋1/a≧2√(b/a)だから足すと、(a＋1/b)＋(b＋1/a)≧2√(a/b)＋2√(b/a)。
2√(a/b)＋2√(b/a)にもう1度、相加平均・相乗平均を使う。

(4)　(3)と同じ考え方。
a+b+1/a+1/b＝(a＋b)＋(1/b＋1/a)として、a＋b≧2√(ab)、1/b＋1/a≧2√(1/ba)だから足すと、(a＋b)＋(1/b＋1/a)≧2√(ab)＋2√1/(ba)。
2√(ab)＋2√(1/ba)にもう1度、相加平均・相乗平均を使う。

但し、いずれの場合でも　等号成立条件は書いておく事。

お礼

4つの解法を示してくれてありがとうございました．
大変たすかりました．

回答No.2

hashioogi

「a>0ならa+1/a≧2」がわかればよいのでは…。
xが正であろうと、0であろうと、負であろうと、x＾２は常に非負。
だから、(√a+1/√a)^2は常に非負（ただしaは0ではないという条件が必要）。
以上。

お礼

解答ありがとうございました．