相加相乗平均の証明問題

質問

a>0、b>0のとき、不等式(a^2 + 4) / b + (b^2 + 4) / a≧8が成り立つことを証明するという問題で、
相加相乗平均を用いて、
a^2 / b + 4 / a + 4 / b + b^2 /a ≧4√(a/ b) + 4√(b/ a)
として、もう一度相加相乗平均を用いて、
4√(a/ b) + 4√(b/ a) ≧2√(4√(a/ b) ・4√(b/ a) )=8
と変形するやり方

や

a^2 / b + 4 / b ≧ 2√(a^2 / b・4 / b)と
b^2 /a + 4 / a ≧ 2√(b^2 / a・4 / a)
のように分けて、
4a / b + 4b / a ≧ 2√4a / b・4b / a
を証明するやり方

は間違っていますか？

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

ふたつ目に記した方が普通。
「相加平均≧相乗平均」の性質を使った不等式を２つ並べて，辺々加えるという操作ですから理にかなっています。
等号が成り立つ場合についても調べやすいです。

ひとつ目に記した解法は，その辺々加える操作を含めて一つの式に書いたもの。高校の授業や考査では「説明不足・論理の飛躍」などと指導を受けるかも知れません。丁寧なふたつ目が良いですね。

補足

回答ありがとうございます。もし上手い解き方
があれば教えていただきたいです。